Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 8 - Năm học 2020-2021

TRƯỜNG THCS HÒA QUANG
ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 - 2021
Họ và tên:
Môn: Toán Khối: 8
Lớp: 8 
Thời gian: 60 phút
Điểm
Lời phê của giáo viên
Xét duyệt của tổ
Xét duyệt của nhà trường
Bài 1: (2 điểm) Cho hai số nguyên a và b, biết 2a + b3. Chứng minh rằng: a + 2b3
Bài 2: (4 điểm) Tìm giá trị các số x, y sao cho thỏa mãn đẳng thức 2x2 + 2y2 + 2xy – 2x + 2y + 2 = 0.
Bài 3: (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẽ từ A đến BD. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AH và DH. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành. 
Chứng minh tam giác ANI là tam giác vuông.
BÀI LÀM:
ĐÁP ÁN
Bài
Ý
Nội dung
Điểm
Bài 1: 
Ta có: a + 2b + 2a + b = 3(a + b)3
Mà 2a + b 3
Vậy a + 2b 3 
1 điểm 
1 điểm 
Bài 2:
 2x2 + 2y2 + 2xy – 2x + 2y + 2 = 0
 (x2 + 2xy + y2 ) + ( x2 – 2x +1) + ( y2 +2y + 1) = 0
 ( x + y )2 + (x – 1)2 + ( y + 1)2 = 0
Vậy cặp giá trị (x; y) = (1; -1)
1 điểm
1 điểm 
1 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 3:
a
Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành
Xét rADH có: 
MN đường trung bình
Nên MN // AD, MN = (1)
AD // BC, AD = BC (2) (cạnh của hình chữ nhật)
BI = (3) (gt)
Từ (1), (2), (3) suy ra MN // BI, MN = BI
Suy ra tứ giác BMNI là hình bình hành
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
b
Ta có MN // AD (cmt) 
AD AB (vì ABCD là hình chữ nhật)
Do đó MN AB
Xét rABN có: 
MN AB (cmt) MN là đường cao của rABN
AH BN (vì AH BD) AH là đường cao của rABN 
Mà AH và MN giao nhau tại M
Nên H là trực tâm của rABN 
Suy ra BM AN (*)
BM // NI (vì hai cạnh đối hình bình hành BMNI) (**) 
Từ (*) và (**) suy ra AN NI 
Vậy rANI là tam giác vuông 
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm