Giáo án Hình học Lớp 8 - Bài 3: Hình thang cân

Bài 3. HÌNH THANG CÂN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
2. Tính chất
Trong hình thang cân:
Hai góc kề một đáy bằng nhau.
Hai cạnh bên bằng nhau.
Hai đường chéo bằng nhau.
Hình 3.1
3. Dấu hiệu nhận biết
Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Hình 3.2
Lưu ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc là hình thang cân. Chẳng hạn hình thang như hình bên.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính số đo góc
Trong hình thang cân, hai góc kề một đáy bằng nhau.
Trong hình thang, hai góc kề một cạnh bên bù nhau.
Ví dụ 1. Cho tam giác cân tại . Trên các cạnh bên , lấy theo thứ tự các điểm và sao cho .
a) Chứng minh là hình thang cân;
b) Tính góc của hình thang cân đó, biết rằng .
Lời giải
a) cân tại nên .	(1)
Do nên cân tại 
 .	(2)
Từ và .	(3)
 Lại có .	(4)
Từ và suy ra là hình thang cân.
b) Vì là hình thang cân nên
; .
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng hoặc góc bằng nhau
Sử dụng các tính chất của hình thang cân để chứng minh.
Sử dụng các kết quả đã biết về chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau để chứng minh.
Ví dụ 2. Cho hình thang cân có , gọi là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh , .
Lời giải
Do là hình thang cân có 
Xét hai tam giác và có 
 (cặp góc tương ứng). Suy ra cân tại .
Chứng minh tư tương tự với .
Ví dụ 3. Cho hình thang cân có , đường chéo vuông góc với cạnh bên , là tia phân giác góc . Tính chu vi của hình thang, biết cm.
Lời giải
Trong hình thang cân có 
 .
Gọi đều nên .
 có , 
 đều .
Chu vi của hình thang là cm.
Dạng 3: Chứng minh tứ giác là hình thang cân
Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân.
Ví dụ 4. Cho hình thang , (, có . Qua kẻ đường thẳng song song với , cắt đường thẳng tại . Chứng minh
a) là tam giác cân;	b) ;
c) là hình thang cân.
Lời giải
a) Từ kẻ tia , .
Do cân tại .
b) Do cân tại nên . Mà (hai góc đồng vị), nên .
Xét và có
 (giả thiết);
 (chứng minh trên);
 là cạnh chung.
 (c.g.c).
c) Do nên 
 là hình thang cân.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác cân tại , các đường phân giác , (, ).
a) Chứng minh là hình thang cân;
b) Tính các góc của hình thang cân , biết .
Lời giải
a) Do cân tại và , là các đường phân giác suy ra hai tam giác và có
,
 chung,
. 
Vậy (g.c.g).
, , ;
 cân tại A là hình thang cân.
b) Do là hình thang cân có 
Bài 2. Cho hình thang cân có , là giao điểm của hai đường chéo, là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên và . Chứng minh
a) , ;
b) là đường trung trực của hai đáy hình thang .
Lời giải
a) Do là hình thang cân 
.
 Xét và có
 ( là hình thang cân);
 ( là hình thang cân);
 là cạnh chung.
.
 (cặp góc tương ứng).
Suy ra cân tại .
Chứng minh tư tương tự với .
b) , cân tại 
, thuộc trung trực , .	(1)
Mà ; (cmt) thuộc trung trực , .	(2)
Từ và là đường trung trực của , .
Bài 3. Cho hình thang (, ) có đường chéo vuông góc với cạnh bên , là tia phân giác góc và .
a) Chứng minh là hình thang cân;
b) Tính độ dài cạnh , biết chu vi hình thang bằng cm.
Lời giải
a) Gọi . Tam giác có vừa là phân giác vừa là đường cao nên cân tại .
Lại có nên là tam giác đều. Suy ra là hình thang cân.
b) Theo phần là trung điểm , là đường trung bình trong .
 Lại có là hình thang cân .
 Mà .
Do chu vi hình thang là
 cm.
Bài 4. Cho tam giác cân tại . Lấy điểm trên cạnh , điểm trên cạnh sao cho .
a) Tứ giác là hình gì? Vì sao?
b) Các điểm , ở vị trí nào thì ?
Lời giải
a) cân tại .	(1)
 cân tại .	(2)
Từ và suy ra là hình thang cân do và .
b) Giả sử cân tại 
.
Tương tự cân tại .
Vậy , là các đường phân giác của thì .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5. Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng .
Lời giải
Giả sử là hình thang cân có , suy ra .
Bài 6. Cho hình thang cân có (. Kẻ các đường cao , . Chứng minh .
Lời giải
Xét hai tam giác vuông và có , .
Bài 7. Cho hình thang cân có , . là tia phân giác của góc . Tính các cạnh của hình thang biết chu vi hình thang bằng cm.
Lời giải
 Gọi đều.
, .
Có là tia phân giác của góc D
 cân tại A.
; .
Chu vi hình thang là .
Vậy cm, cm.
Bài 8. Cho hình thang (), có . Chứng minh là hình thang cân.
Lời giải
 Từ kẻ tia , .
 Do 
 cân tại A .
Lại có (hai góc đồng vị)
.
Xét hai tam giác và có
 (giả thiết);
 (chứng minh trên);
 là cạnh chung.
 (c.g.c).
 là hình thang cân.
--- HẾT ---