Giáo án Hình học Lớp 8 - Chủ đề 15: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Chủ đề 15
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông
Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:
Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia (trường hợp g.g).
Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia (trường hợp c.g.c). 
2. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng
Định lí 1: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng (trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông).
3. Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
Định lí 2: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
Định lí 3: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
DẠNG 1. Nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng để tính độ dài
đoạn thẳng, tính góc
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.	Nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng:
Thường sử dụng các trường hợp thứ ba hoặc thứ hai, trong đó yếu tố góc là góc vuông hoặc trường hợp đồng dạng cạnh huyền - cạnh góc vuông.
2.	Tính độ dài đoạn thẳng, tính góc:
Sử dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, lập tỉ số giữa các cạnh tương ứng, thay số rồi giải phương trình.
Sử dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, tìm ra góc tương ứng bằng nhau.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Trên hình 307, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng.
Lời giải (hình 307)
 (g.g), vì :
 (g.g), vì ;
 (g.g), vì ;
 (g.g), vì .
Ví dụ 2. Cho hình 308 có tam giác vuông ở và có đường cao .
a) Trong hình vẽ có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với nhau?
Hãy chỉ rõ từng cặp tam giác đồng dạng và viết theo các đỉnh tương ứng.
b) Cho biết . Tính độ dài các đoạn thẳng và .
Lời giải (hình 308)
a) Trong hình vẽ có ba cặp tam giác đồng dạng là và 
và và .
b) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở , ta được: 
 hay .
Vì :
Hay .
Từ câu a), hay .
Do đó .
Ví dụ 3. Chân đường cao chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài và . Tính chu vi và diện tích của tam giác vuông đó (h. 308).
Vì nên , hay 
.
Ta có .
Áp dụng định lí Py-ta-go, ta tính được: .
Vậy chu vi tam giác gần bằng .
Ví dụ 4*. Cho điểm nằm trên đoạn thẳng . Vẽ về một phía của các tia và vuông góc với . Trên tia lấy điểm sao cho , trên tia lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng .
Lời giải (hình 310)
Trước hết ta đi tính đoạn .
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ở 
ta được hay 
.
Xét và có và 
(vì ), do đó:
 (theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Từ định nghĩa tam giác đồng dạng và tính chất về góc của tam giác vuông , ta có:
 (do góc là góc bẹt).
III.	BÀI TẬP
1.	Cho tam giác vuông ở , đường cao . Hãy tính các độ dài biết và .
2.	Cho tam giác vuông ở , đường cao có . Gọi là trung điểm của . Tính các cạnh của tam giác .
3.	Cho hình thang vuông có . Trên cạnh đặt đoạn . Chứng minh .
4.	Cho tam giác vuông tại có . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .
a) 	Chứng minh rằng .
b)	Tính .
5*.	Cho hình thang vuông có và . Tính khoảng cách từ trung điểm của đến .
DẠNG 2. Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các định lí:
Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tam giác có , đường cao . Một đường thẳng song song với cắt các cạnh lần lượt ở và . Tính độ dài , biết rằng bằng khoảng cách từ đến .
Lời giải (hình 311)
Gọi là giao điểm của và .
Do tại , nên khoảng cách từ 
đến bằng .
Từ giả thiết bằng khoảng cách từ đến nên đặt: 
 thì .
Vì nên , do đó tỉ số hai đường cao và bằng tỉ số đồng dạng , hay 
	.
Vậy .
Ví dụ 2. Tam giác có độ dài các cạnh là . Tam giác đồng dạng với tam giác và có diện tích là . Tính độ dài các cạnh của tam giác .
Lời giải
Trước hết ta chứng minh tam giác là tam giác vuông.
Thật vậy, vì thỏa mãn hệ thức Py-ta-go nên tam giác là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là và , do đó diện tích của nó là .
Từ giả thiết , nên ;
Điều này chứng tỏ tỉ số đồng dạng của hai tam giác trên là .
Vậy độ dài các cạnh của tam giác là .
Ví dụ 3*. Cho tam giác . Qua là điểm trên cạnh lần lượt kẻ các đường thẳng song song với chúng cắt theo thứ tự ở và . Biết diện tích 
tam giác bằng , diện tích tam giác bằng . 
Tính .
Lời giải (hình 312)
Đặt . Vì nên .
	(1)
Lại có nên 
	(2)
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), thu được , hay
	.
Vậy diện tích tam giác bằng .
III.	BÀI TẬP
6.	Cho hình thang có , đường cao bằng , các đường chéo cắt nhau ở . Tính diện tích các tam giác và .
7.	Cho tam giác . Một đường thẳng song song với , cắt các cạnh và ở và . Biết diện tích tam giác bằng nửa diện tích tam giác . Tính tỉ số .
8.	Cho tam giác vuông ở có đường cao . Gọi là hình chiếu của trên .
a)	Chứng minh .
b)	Tính diện tích tam giác .
9*.	Gọi là điểm bất kì trong tam giác . Qua kẻ các đường thẳng lần lượt song song với . Gọi diện tích các tam giác theo thứ tự là . Chứng minh rằng: .
DẠNG 3. Sử dụng tam giác vuông đồng dạng để chứng minh
đẳng thức hình học
I.	PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.	Tìm các tam giác vuông đồng dạng.
2.	Lập và biến đổi các đoạn thẳng tỉ lệ.
II.	VÍ DỤ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Lời giải (hình 313)
Xét tam giác vuông vuông ở .
Ta phải chứng minh: .
Thật vậy, kẻ .
Có (g.g) 
Nên 	(1)
Có (g.g) nên 	(2)
Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được:
	 (đpcm).
Ví dụ 2. Cho hình bình hành . Gọi là hình chiếu của trên , là hình chiếu của trên và là hình chiếu của trên . Chứng minh rằng:
a)	.
b)	.
c)	.
Lời giải (hình 314)
a)	Vì (g.g). 
nên 	(1)
b) 	Vì (do so le trong) và nên (g.g)
Do đó 	(2)
Lại có (theo tính chất về cạnh của hình bình hành ).
Thay vào đẳng thức (2) thu được: 	(3)
c) 	Cộng theo vế các đẳng thức (1) ở câu a) và (3) ở câu b), ta được:
	.
III.	BÀI TẬP
10.	Cho tam giác vuông ở , đường cao . Kẻ . Chứng minh rằng .
11.	Cho tam giác vuông ở , đường cao . Trên lấy điểm , qua kẻ đường thẳng vuông góc với ở . Chứng minh rằng:
a)	.
b)	.
12.	Cho tam giác nhọn , các đường cao và cắt nhau ở . Gọi là hình chiếu của trên . Chứng minh rằng:
a)	.
b)	.
c)	.