Đề cương học kì I Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Vĩnh Phúc

ĐỀ CƯƠNG LỚP 8 TRƯỜNG ĐẠI MỖ ( 2018 - 2019)
A. PHẦN ĐẠI SỐ
I. TRẮC NGHIỆM
1. Kết quả phân tích đa thức - x2 + 5x – 6 thành nhân tử là: 
A.	B. (- x + 3)(x + 2)	C. (x -3)(2- x)	D. (-x -3)(x + 2)
2. Đa thức M trong đẳng thức bằng:
A. 2x2 - 2 	B. 2x2 - 4 	 	C. 2x2 + 2 ;	D. 2x2 + 4
3. Kết quả phép tính bằng :
A. 	B. 	C. 	D. 
4. Kết quả phép tính bằng :
A. 	B. 	C. 	D. 
5. Rút gọn biểu thức (y – 1)2 + (y + 1)2 – 2(y + 1)(y – 1) là : 
A. y2 – 1	B. 4	C. (y – 1)2(y + 1)2	D. 2(y2 – 1)	
6. Giá trị của biểu thức M = -2x2 y3 tại x = -1 ; y = 1 là :
A. 2 	B. -2 	C. 12 	 	D. -12 
II. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a) 	b) 
c) 
Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài 5. Tìm biết:
Bài 6. Chứng minh rằng biểu thức:
 luôn dương với mọi .
 luôn dương với mọi .
Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, B, C và giá trị lớn nhất của biểu thức D, E.
Bài 8. Xác định để đa thức:
a) chia hết cho .
b) chia hết cho đa thức 
Bài 9/ Cho các phân thức sau:
 A = B = C = 	
 D = E = F = 
a) Với đIều kiện nào của x thì giá trị của các phân thức trên xác định.
b)Tìm x để giá trị của các phân thức trên bằng 0.
c)Rút gọn các phân thức trên.
Bài 10/ Thực hiện các phép tính sau:	
a) + b) 
 c) + + 
d) e) + + ; g) + + 
Bài 11/ Thực hiện phép tính: 
Bài 12. Cho A = 
a) Với những giá trị nào của x thì A xác định b) Rút gọn A
c) Tìm giá trị của x để A = -6 d) Tìm x để A
Bài 13. Cho M = 
a) Tìm điều kiện xác định của A và rút gọn M. b) Tìm giá trị của M khi x2 – 4 = 0
c) Tìm x để M.
Bài 14: Cho 
Tìm điều kiện của x để giá trị của B được xác định?
 Tìm x để B = 0.
 Tìm giá trị nguyên của x để B nhận giá trị dương.
Bài 15: Cho biểu thức 
Tìm điều kiện của x để giá trị biểu thức được xác định?
CMR: Khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của 
biến x?
Bài 16: Cho phân thức:. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
B. HÌNH HỌC
I. TRẮC NGHIỆM
Bài 1/ Bài tập đúng sai (ghi chữ Đ hoặc chữ S vào sau mỗi câu )
1. Hình thang só một góc vuông l HCN	
2. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi. 
3. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và có một góc vuông l hình vuông. 	
4. Tổng số đo bốn góc của một tứ giác bằng 3600	
5. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.	
6.Hình thoi là một hình thang cân.
7. Hình thang có hai cạnh bên song song là HBH 
8. Tam giác đều là hình có tâm đối xứng 	
9. HV vừa là hình chữ nhật , vừa là hình thoi	
10. HCN là hình bình hành có một góc vuông	
11. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.	
12.Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông	
13. Trong hình chữ nhật, giao điểm hai đường chéo cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật.
14. Tứ giác có 4 góc bằng nhau là hình chữ nhật 
15. HBH có hai đường chéo bằng nhau là HCN
16. Tứ giác có bốn góc vuông là hình vuông .
17. Hình thoi là hình có tâm đối xứng
18. Hình thang cân có một tâm đối xứng.
19. Hình thang cân có một góc vuông là HCN
20. Tam giác cân là hình có trục đối xứng 	
Bài 2/ Chọn và ghi vào bài làm chỉ một chữ cái in hoa của câu trả lời đúng.
1. Cho tam giác ABC, BC = 16 cm, AB = AC = 10cm. Lấy D đối xứng với C qua A . Khi đó
	A. 	B. 	C. BD = 12 cm 	D. BD = cm 
2. Một hình vuông có cạnh bằng 4 cm, đường chéo của hình vuông đó bằng:
A
B
C
M
 A. 8 cm 	B. 	C. 6 cm 	D. 16 cm 
3 .Cho hình vẽ, biết AB = 6 cm , BC = 8 cm .
Độ dài đường trung tuyến BM bằng :
	A . 3 cm 	B. 4 cm 	C. 5 cm 	D. 6 cm 
4. Cho hình vẽ , biết AB = BC = 5cm và DC = 8 cm . Diện tích của đa giác HBC là :
A.4,5 cm2 
B. 6cm2 
C. 12cm2 
D. 16 cm2 
5. Tứ giác MNPQ có các góc thoả mãn điều kiện : = 1 : 1 : 2 : 2 .Khi đó :
A. ; 	B. ;	
C. ; 	D. ; 
6. Cho ABCD là hình thang vuông, rBMC đều . Số đo của là :
	A. 600	C. 1500
	B. 1300	D. 1200
Bài II. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1/ Cho tam giác ABC (AB < AC), đường cao AK. Gọi D; E; F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, AC.
a) Tứ giác ADEF là hình gì?
b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác ADEF là hình chữ nhật?
c) Chứng minh tứ giác DKEF là hình thang cân.
d) Cho BK = 6cm; AB = 10cm. Tính diện tích tam giác ABK?
Bài 2/ Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC và AD.
a) Chứng minh tứ giác ECDF là hình thoi.
b) Tính số đo của góc AED.
Bài 3/ Cho h×nh thoi ABCD, gäi O lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo. VÏ ®êng th¼ng qua B vµ song song víi AC, vÏ ®êng th¼ng qua C vµ song song víi BD, hai ®êng th¼ng ®ã c¾t nhau ë K.
Tø gi¸c OBKC lµ h×nh g×? V× sao?
Chøng minh AB = OK.
BiÕt BOK = 300. TÝnh sè ®o c¸c gãc cña h×nh thoi ABCD. 
T×m ®iÒu kiÖn cña h×nh thoi ABCD ®Ó tø gi¸c OBKC lµ h×nh vu«ng.
Bài 4/ Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M, I lần lượt là trung điểm của BC và AC. Tia MI cắt tia Ax tại N (Tia Ax song song với BC)
a/ Chứng minh tứ giác ABMN là hình bình hành.
b/ Lấy điểm E đối xứng với A qua M. Chứng minh rằng tứ giác ABEC là hình chữ nhật.
c/ Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình thoi.
d/ Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCN là hình vuông.
Bài 5/ Cho hình chữ nhật ABCD (AB // CD ) , AB= 6cm , BC = 4cm . Trên tia đối tia CD lấy điểm E sao cho CD = CE
 a/ Chứng minh ∆DBE cân
 b/ Chứng minh tứ giác ABEC là hình bình hành
 c/ Tính diện tích hình ABED
 d/ ∆DBE cần điều kiện gì để hình chữ nhật ABCD trỡ thành hình vuông. 
Bài 6/ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD . trên tia đối tia AD lấy điểm E sao cho AE = AD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD 
 a/ Tứ giác EMNA là hình gì ? vì sao ?
 b/ Tứ giác EBCD là hình gì ? vì sao ?
 c/ Gọi I, K lần lượt là giao điểm của EN với AM và của AN với DM. Chứng minh IK=AB/4
 d/ Chứng minh SABCD = SEMB.
Bài 7/ Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và góc A = 600. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD.
Chứng minh AE vuông góc với BF
Tứ giác ECDF là hình gì ? Vì sao?
Tứ giác ABED là hình gì ? Vì sao?
Gọi M là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật. 
Chứng minh M, E, D thẳng hàng.
Bài 8/ Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh CD, gọi AF là phân giác của tam giác ADE. Gọi H là hình chiếu của F trên AE. Gọi K là giao điểm của FH và BC.
Tính độ dài AH
Chứng minh AK là phân giác của góc BAC
Tính chu vi và diện tích tam giác tam giác CKF.
Bài 9/ Cho hình bình hành ABCD có 2AB = BC = 2a, . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC.
Tứ giác AMNB là hình gì ? Vì sao? 
Chứng minh rằng: AN ^ ND ; AC = ND
Tính diện tích của tứ giác AMNB và tam giác AND theo a.
Bài 10/ Cho tam giác ABC vuông tại A có . Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB (chứa điểm C) kẻ tia Ax // BC. Trên Ax lấy điểm D sao cho AD = DC.
	 a. Tính các góc BAD; ADC
	 b. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân
	 c. Gọi M là trung điểm của BC. Tứ giác ADMB là hình gì? Tại sao?
	 d. So sánh diện tích của tứ giác AMCD với diện tích tam giác ABC.
Bài 11/ Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Qua B kẻ Bx vuông góc với BA, qua C kẻ Cy vuông góc với CA. Gọi D là giao điểm của Bx và Cy, N là giao điểm của AH và BC.
Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành;
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh H và D đối xứng nhau qua M. 
Tìm điều kiện của tam giác ABC để ba điểm A, D, H thẳng hàng;
Giả sử H là trung điểm của AN. Chứng minh rằng SABC = SBDCH.
Bài 12/ Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lược là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA . 
Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b. Cho AC = 4cm , BD = 8cm . Tính SABCD = ?
Để MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD cần có điều kiện gì?
HƯỚNG DẪN GIẢI
A. PHẦN ĐẠI SỐ
I. TRẮC NGHIỆM
1. C
2. B
3. B
4. D
5. B
6. B 
Bài 1: 
a) 
b) 
c) 
Vậy = 
d)
Vây 
Bài 2: 
a) 	
b) 
c) 
Bài 3: 
Vậy A không phụ thuộc vào giá trị của biến
Vậy B không phụ thuộc vào giá trị của biến
Vậy C không phụ thuộc vào giá trị của biến
Bài 4:
Bài 5:
Vậy 
Vậy 
Vậy 
Vậy 
Vậy 
Vậy 
Bài 6.
* Ta có 
Mà 
Vậy biểu thức A luôn dương với mọi .
* Ta có 
Mà 
Vậy biểu thức B luôn dương với mọi .
Bài 7.
* Ta có: 
Mà 
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy A đạt GTNN bằng -3 khi .
* Ta có: 
.
Vì nên .
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy B đạt GTNN bằng 10 khi .
*Ta có: 
Vì nên 
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy C đạt GTNN bằng -36 khi hoặc .
* Ta có: 
Vì 
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy D đạt GTLN bằng 21 khi 
 * Ta có: 
Vì nên 
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy E đạt GTLN bằng 5 khi 
Bài 8.
a) Có 
Ta thực hiện phép chia sau:
Vì chia hết cho nên 
b) Ta thực hiện phép chia sau:
Vì chia hết cho đa thức nên 
Bài 9.
1. 
a) Để giá trị của phân thức trên xác định thì 
b) . Vậy với 
c) Với thì . Để A = 0 thì (vô lí)
 Vậy không có giá trị nào của x để A = 0
2. 
a) Để giá trị của phân thức trên xác định thì 
b)Vậy với 
c) Với thì . Để B = 0 thì (thỏa mãn điều kiện)
 Vậy x = -3 thì B = 0
3. 
a) Để giá trị của phân thức trên xác định thì 
b) Vậy với 
c) Với thì . 
 Để C = 0 thì (thỏa mãn điều kiện). Vậy x = -3 thì B = 0
4. 
a) Để giá trị của phân thức trên xác định thì 
b) Vậy với 
c) Với thì . 
 Để D = 0 thì (không thỏa mãn điều kiện). 
 	 Vậy không có giá trị nào của x để D = 0
5. 
a) Để giá trị của phân thức trên xác định thì 
b) Vậy với 
c) Với thì . Để E = 0 thì ( thỏa mãn điều kiện). 
 	 Vậy x = 0 thì E = 0
6. 
a) Để giá trị của phân thức trên xác định thì 
b) Vậy với 
c) Với thì . Để F = 0 thì ( Vô lí). 
 Vậy không có giá trị nào của x để F = 0
Bài 10. Thực hiện các phép tính sau
a) 
Ta có: ; 
MTC: 
= = = = = 
b) 
Ta có: ; 
MTC: 
= = = 
c) 
Ta có: = 
MTC: 
= 
= = 
== 
d) = 
Ta có: MTC: 
=
= = = 
e) 
MTC: 
= = 
g) 
Ta có: MTC: 
= 
= = 
= = 
Bài 11/ Thực hiện phép tính: 
BÀI GIẢI
Bài 12.
a) ĐKXĐ: 
b) A = với x 
KL 
c) Với x 
A = - 6 (tm)
KL .
d) Với x 
Để A 
Ta có bảng:
2 - x
-6
-3
-2
-1
1
2
3
6
x
8 (tm)
5(tm)
4 (l)
3 (tm)
1 (tm)
0(tm)
-1 (tm)
-5 (tm)
KL ..
Bài 13. 
a) ĐKXĐ: 
M =
KL 
b) Khi x2 – 4 = 0 
Với x = - 2 thì 
Kl ..
c) Ta có : M = 
Để M nguyên thì 
Ta có bảng 
x - 2
-2
-1
1
2
x
0(tm)
1(tm)
3(tm)
4(tm)
Vậy ..
Bài 14: Cho 
Tìm điều kiện của x để giá trị của B được xác định?
 Tìm x để B = 0.
 Tìm giá trị nguyên của x để B nhận giá trị dương.
Giải
Để giá trị biểu thức B được xác định thì các phân thức phải có mẫu thức khác 0 
Hay 
Với ta có: 
Để thì 
Để B nhận giá trị dương hay 
Do x là số nguyên và nên 
Bài 15: Cho biểu thức 
Tìm điều kiện của x để giá trị biểu thức được xác định?
CMR: Khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của 
biến x?
Giải 
Để giá trị biểu thức B được xác định thì các phân thức có mẫu thức khác 0 
hay 
Với ta có:
Vậy giá trị của B không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
Bài 16: Cho phân thức:. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Giải
Ta có: 
Vì
Đặtxảy ra khi 
B. HÌNH HỌC
I. TRẮC NGHIỆM
Bài 1.
1. S	
2. Đ 
3. Đ 
4. Đ 	
5. S
6. S
7. Đ 
8. S	
9. Đ	
10. Đ	
11. S
12. S
13. Đ 
14. Đ 
15. Đ 
16. S
17. Đ
18. S
19. Đ 
20. Đ	
Bài 2.
1. B
2. B
3 .C
4. B
5. A
6. D
Bài 1. Cho tam giác đường cao Gọi theo thứ tự là trung điểm của 
Tứ giác là hình gì?
Tam giác có điều kiện gì thì tứ giác là hình chữ nhật.
Chứng minh tứ giác là hình thang cân.
Cho Tính diện tích tam giác 
Giải
Xét có 
 là đường trung bình của 
Mà (vì F là trung điểm của AC)
Xét tứ giác có: 
 Tứ giác là hình bình hành.
Để hình bình hành là hình chữ nhật thì hay 
 vuông tại A.
Vậy để tứ giác là hình chữ nhật thì vuông tại A.
Xét có: 
 là đường trung bình của 
 hay 
Xét tứ giác có 
 Tứ giác là hình thang.
Xét vuông tại A có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC.
 mà ( chứng minh câu a)
Xét hình thang có 
 Tứ giác là hình thang cân. (Hình thang có hai đường chéo bằng nhau)
Áp dụng định lý Py – ta – go trong tam giác ABK vuông tại K ta có:
Ta có: 
Bài 2. Cho hình bình hành có . Gọi theo thứ tự là trung điểm và 
Chứng minh tứ giác là hình thoi.
Tính số đo của góc .
Giải
a)
Ta có:
Xét tứ giác có:
Do đó tứ giác là hình thoi.
b)Tính số đo của góc .
Ta có tứ giác là hình thoi nên là tia phân giác của góc 
Tương tự ta chứng minh được tứ giác là hình thoi nên là tia phân giác của góc 
Do đó ta có:
Vậy 
Bài 3: Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC, vẽ đường thẳng qua C và song song với BD, hai đường thẳng đó cắt nhau ở K. 
a) Tứ giáo là hình gì ? Vì sao? 
b) Chứng minh .
c) Biết . Tính số đo các góc của hình thoi ABCD.
d) Tìm điều kiện của hình thoi để tứ giác là hình vuông.
Giải
a) Tứ giáo là hình gì ? Vì sao? 
 là hình thoi (gt) nên :
 (định nghĩa hình thoi) 
 (tính chất hình thoi)
Xét : 
(gt)
(gt)
Vậy là hình bình hành, mặt khác nên là hình chữ nhật.
b) Chứng minh .
là hình chữ nhật nên ( tính chất hình chữ nhật) 
Mặt khác (cmt) nên .
c) Biết . Tính số đo các góc của hình thoi ABCD.
Xét :; (vì là trung điểm AC nên )
Vậy là hình bình hành. .
 là hình thoi BD là phân giác góc ABC. Vậy ( tính chất hình thoi, 2 góc đối bằng nhau)
Theo tính chất hình thoi: (tính chất hình thoi – 2 góc đối bằng nhau) 
d) Tìm điều kiện của hình thoi để tứ giác là hình vuông.
 là hình vuông mà ;. Vậy là hình vuông thì là hình vuông. 
Bài 4: Cho vuông tại . Lấy lần lượt là trung điểm của và ( ko có trong đề). Tia cắt tia tại(Tia song song với ).
Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Lấy điểm đối xứng với qua . Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật.
Chứng minh tứ giác là hình thoi.
Tìm điều kiện của để tứ giác là hình vuông. 
Giải
Vì lần lượt là trung điểm của và 
Þ là đường trung bình của 
Þ hay 
Mà 
Từ và Þ là hình bình hành.
Vì đối xứng với qua Þ 
Vì là trung điểm của Þ 
Từ Þ là hình bình hành, mà 
Þ là hình chữ nhật.
Vì tại trung điểm của 
Þlà trung trực của 
Þ 
 là hình bình hànhÞ 
Từ Þ Þ là hình thoi.
Để là hình vuông Þ . Mà là phân giác 
Þ 
Þ là phân giác 
Þ vuông cân tại A.
Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 6cm, BC = 4cm. Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho
 CD = CE. 
Chứng minh cân
Chứng minh tứ giác ABEC là hình bình hành
Tính diện tích hình ABED
 cần điều kiện gì để hình chữ nhật ABCD trở thành hình vuông
Giải
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB //CD và AB = CD; 
Xét có: 
BC là trung tuyến (do C là trung điểm của DE)
BD đồng thời là đường cao (do )
Suy ra cân tại B. 
Vì 
Xét tứ giác ABEC có: 
AB // CE
AB = CE
Suy ra tứ giác ABEC là hình bình hành. 
Ta có: 
Vậy diện tích của hình ABED là 36 cm2
Hình chữ nhật ABCD là hình vuông 
Ta có cân tại B mà thì hay vuông cân tại B
Vậy hình chữ nhật ABCD là hình vuông là hình vuông khi vuông cân tại B
Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2AD. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD
a) Tứ giác EMNA là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác EBCD là hình gì? Vì sao?
c) Gọi I và K lần lượt là giao điểm của EN và AM của AN với DM. Chứng minh IK=AB/4
d) Chứng minh SABCD =4SEMB
Giải
 a) Vì M là trung điểm của AB nên AM=MB= AB
 Vì N là trung điểm của DC nên DN=NC= CD
 AB=CD (do ABCD là hình chữ nhật)
 Do đó AM=DN
Xét tứ giác AMND có
AM=DN(cmt)
AM//DN ( do ABCD là hình chữ nhật)
 Tứ giác AMND là hình bình hành.
Có AM AD (ABCD là hình chữ nhật) 
 Tứ giác AMND là hình chữ nhật
MN=AD và MN//AD
MN=AE và MN// AE
 Tứ giác ANME là hình bình hành.
b)Xét tứ giác EBCD có BC//ED
 Tứ giác EBCD là hình thang
Có D =900. Tứ giác EBCD là hình thang vuông
c)Vì tứ giác ANME là hình bình hànhAM cắt EN tại trung điểm của mỗi đường 
I là trung điểm của EN
Vì tứ giác AMND là hình chữ nhật AN cắt DM tại trung điểm của mỗi đường 
K là trung điểm của AN.
Xét NCA có
NI=IE
NK=AK
Do đó IK là đường trung bình của NCA
KI = A E mà AE= A B nên KI = A B
d) SEMB =AE.MB =.AB.AD =AB.AD=SABCD
SABCD =4SEMB
Bài 7: Cho hình bình hành có và . Gọi , theo thứ tự là trung điểm của , 
a) Chứng minh 
b) Tứ giác là hình gì? Vì sao?
c) Tứ giác là hình gì? Vì sao?
d) Gọi là điểm đối xứng của qua . Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật.
e) Chứng minh , , thẳng hàng.
Giải:
a) Hình bình hành 
 là trung điểm của 
 là trung điểm của 
Từ (1); (2); (3) và (4) 
Xét tứ giác có 
là hình bình hành
Mà 
là hình thoi
b) là hình thoi 
mà 
Xét tứ giác có: 
là hình thoi
c) là hình thoi 
mà cân tại 
 đều
mà là hình thang 
 là hình thang cân
d) là điểm đối xứng của qua là trung điểm 
mà 
Xét tứ giác có: 
 là hình bình hành.
Mặt khác có: ( đều) mà 
Xét có là đường trung tuyến ( là trung điểm ) và 
 vuông tại 
Mà là hình bình hành
 là hình chữ nhật
e) là hình chữ nhật
 và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà là trung điểm 
 là trung điểm 
 , , thẳng hàng.
Bài 8: Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh CD, gọi AF là phân giác của tam giác ADE. Gọi H là hình chiếu của F trên AE. Gọi K là giao điểm của FH và BC.
Tính độ dài AH
Chứng minh AK là phân giác của góc BAE
Tính chu vi và diện tích tam giác tam giác CKF.
Giải
a) Xét và có: , AF chung, (do AF là tia phân giác của )
 (cạnh huyền - góc nhọn) (hai cạnh tương ứng).
b) Từ .
Xét và có: , AK chung, AH = AB (cmt)
 (cạnh huyền - cạnh góc vuông) (hai góc tương ứng) và HK = KB (hai cạnh tương ứng).
Từ nên AK là tia phân giác của góc BAE.
c) Do FH = DF và HK = BK (cmt) nên 
Chu vi tam giác CFK .
Vì nên .
.
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD và BC.
Tứ giác AMNB là hình gì? Vì sao?
Chứng minh rằng: 
Tính diện tích tứ giác AMNB và tam giác AND theo a
Giải
a) Tứ giác AMNB là hình gì? Vì sao?
Ta có: ABCD là hình bình hành (gt)
Mà 
Ta có ( M là trung điểm của AD)
 (N là trung điểm của BC)
Mặt khác, ta có: ; (N là trung điểm của BC)
Xét tứ giác AMNB có: 	 
 (cmt)	 
 (cmt)
 AMNB là hình bình hành (dhnb)
Mà (cmt)
 hbh AMNB là hình thoi (dhnb)
b) CM: ; 
Ta có: AMNB là hình thoi (cmt)
 (t/c)
Mà 	
Xét có
NM là đường trung tuyến ứng với cạnh AD
Mà 
 vuông tại N (định lý áp dụng vào tam giác vuông)
 hay 
+) CM: 
Có AMCD là hình bình hành (gt) (gt)
 Mà AB = AN (cmt) 
Ta có: AMNB là hình thoi (cmt) 
Xét có: (cmt)
 cân tại M (đ/n)
 Mà (cmt)
 là tam giác đều (t/c)
 (1)
Ta có ABCD là hình bình hành (gt) (t/c hbh) (2)
 Cách 1.
Xét và có:
 AD: cạnh chung
 (cmt)
 (2 cạnh tương ứng))
 Cách 2. Từ (1) và (2) suy ra 
Ta có 
=> tứ giác ADCN là hình thang (tứ giác có hai cạnh đối song song)
 (cmt)
=> hình thang ADCN là hình thang cân (hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau)
c) Tính diện tích tứ giác AMNB và tam giác AND theo a	 
Gọi . Mà AMNB là hình thoi (cmt)
 ; (Vì ); 
Xét có: (ĐL Pitago)
Diện tích hình thoi AMNB là 
+) Ta có: (M là trung điểm của AD)
Mà 
Xét tứ giác MDNB có:
(cmt)
(cmt)	 
 là hình bình hành (dhnb)
 (t/c)
Diện tích tam giác AND là: 
Bài 10: Cho ∆ABC vuông tại A có ABC = 600. Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB ( có chứa điểm C), kẻ tia Ax // BC. Trên Ax lấy điểm D sao cho DA = DC.
Tính các góc BAD, ADC
Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân
Gọi M là trung điểm của BC. Tứ giác ADMB là hình gì? Vì sao?
So sánh diện tích tứ giác AMCD với diện tích tam giác ABC.
Giải:
Cho ∆ABC vuông tại A có ABC = 600 (gt)
⇒ ACB = 300
Mà DAC = ACB = 300 (soletrong)
⇒ BAD = DAC + BAC = 300 + 900 = 1200
DAC = ACD ( ∆ADC cân tại D)
⇒ ACD = 300
Mặt khác DAC + ADC + ACD = 1800 ( tổng 3 góc trong tam giác)
⇒ ADC = 1800 - 300 - 300 = 1200
Ta có AD // BC (gt)
⇒ ADCB là hình thang
Mà BAD = ADC = 1200 (cmt)
⇒ ADCB là hình thang cân
Nối AM
Ta có AM = BM = MC ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
⇒ ∆AMB cân
Mà ABC = 600 (gt) ⇒ ∆AMB là tam giác đều
⇒ AB =AM
Mặc khác ta có: MC = AM
DC = AB (ADCB là hình thang cân)
⇒ MC = DC ⇒ ∆MDC cân
Mà MCD = ACD + ACD = 600 ⇒ ∆MDC là tam giác đều
⇒ CA là đường phân giác đồng thời là đường cao
⇒ DM ⊥ AC tại J 
⇒ DM // AB ( ⊥ AC)
Mà AD // BM (gt) 
⇒ ADMB là hình bình hành
SAMDC = 12AC.DM
 Mà DM = AB ( = MC)
Và SABC = 12AC.AB
⇒ SAMDC = SABC
Bài 11. Cho tam giác có là trực tâm. Qua kẻ vuông góc với , qua kẻ vuông góc với . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và .
a. Chứng minh tứ giác là hình bình hành;
b. Gọi là trung điểm của . Chứng minh và đối xứng nhau qua ;
c. Tìm điều kiện của tam giác để ba điểm thẳng hàng;
d. Giả sử là trung điểm của . Chứng minh rằng .
Giải
a. Chứng minh tứ giác là hình bình hành
Xét có:
 là trực tâm (gt)
 và 
Có và hay 
Có và hay 
Xét tứ giác có: và 
 Tứ giác là hình bình hành.
b. Gọi là trung điểm của . Chứng minh và đối xứng nhau qua 
Có tứ giác là hình bình hành (câu a)
Hai đường chéo và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Mà là trung điểm của 
 cũng là trung điểm của hay và đối xứng nhau qua .
c. Tìm điều kiện của tam giác để ba điểm thẳng hàng;
Xét có:
 là trực tâm (gt) là đường cao ứng với cạnh .(1)
Có và đối xứng nhau qua (câu b)
 thẳng hàng 
Để ba điểm thẳng hàng mà thẳng hàng thẳng hàng hay đi qua trung điểm của là đường trung tuyến ứng với cạnh .(2)
Từ (1) và (2) cân tại A
Vậy để ba điểm thẳng hàng thì cân tại .
d. Giả sử là trung điểm của . Chứng minh rằng .
 là trung điểm của 
(3)
Kẻ 
Xét và có: 
(vì là trung điểm của )
(đối đỉnh)
(cạnh huyền – góc nhọn)
(2 cạnh tương ứng)
(4)
Từ (3) và (4) 
Bài 12/ Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.
a. Tứ giác MNPQ là hình gi?
b. Cho . Tính .
c. Để MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD cần có điều kiện gì?
Giải:
a. Ta có QM là đường trung bình trong tam giác ABD (1)
PN là đường trung bình trong tam giác BCD (2)
Từ (1) và (2) tứ giác PQMN là hình bình hành.
Lại có (3)
Do PQ là đường trung bình trong tam giác ACD nên (4)
Từ (3) và (4) PQMN là hình chữ nhật.
b. 
c. Để MNPQ là hình vuông thì . Vậy để MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD phải có .