Đề cương ôn thi học kì I Toán Lớp 8 - Năm học 2019-2020

Đề cương ôn thi học kì 1 môn Toán lớp 8 năm 2019 - 2020
Chủ đề 1: Nhân đa thức.
A. Mục tiêu:
- Nắm được quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.
- Học sinh biết trình bày phép nhân đa thức theo các cách khác nhau.
B. Thời lượng: 3 tiết (từ 1 đến 3)
C. Thực hiện: 
Tiết 1:
Câu hỏi 
1: Phát biểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức.
2: Phát biểu quy tắc nhân đa thức với đa thức.
* Bài tập về nhân đơn thức với đa thức.
Bài 1: Thực hiện phép nhân.
a. 
b. 
Giải:
a. = 
b. = 
Bài 2: Chứng tỏ rằng các đa thức không phụ thuộc vào biến.
a. 
b. 
Giải:
a. = 
 = 
	Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến x.
b. =
 = 
	Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến x.
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau khi thực hiện các phép toán.
a. với x = 15
b. với 
c. với 
Giải:
a. =
 =
Thay x = 15 ta có: 
b. 
 = 
 = 
 	Thay ta có: 
c. =
 = =
 = 
Thay ta có: 
Tiết 2:
Bài 4: Điền vào chỗ dấu * để được đẳng thức đúng.
a. 
b. 
Giải:
a. Vì nên dấu * ở vỊ phải là 9xy3
 Vì * ở vế trái là tích của 9xy3 với 2y3 nên phải điền vào dấu * này biểu thức
 vậy ta có đẳng thức đúng.
b. Lý luận tương tự câu a.
 Đẳng thức đúng là: 
Bài 5: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b) = -2ac.
b. a(1 - b) + a(a2 - 1) = a.(a2 - b)
c. a.(b - x) + x.(a + b) = b.(a + x)
Giải:
a. VT = a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b)
= ab - ac - ab - bc + ac - bc 
= -2bc = VP đpcm
b. VT = a.(1 - b) + a.(a2 - 1)
= a - ab + a3 - a
= a3 - ab = a.(a2 - b) = VP đpcm.
c. VT = a.(b - x) + x.(a + b)
= ab - ax + ax + xb
= ab + xb = b(x + a) = VP đpcm
Bài 6: Tìm x biết
a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100
b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
Giải:
a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100
	60x2 + 35x - 60x2 + 15x = - 100
	50x = - 100
 x = - 2
b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
	0,6x2 - 0,3x - 0,6x2 - 0,39x = 0,138
	- 0,6x = 0,138
 x = 0,138 : (- 0,6)
 - 0,2
* Bài tập về nhân đa thức với đa thức
Bài 1: Làm tính nhân.
a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1)
b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a)
Giải:
a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1)
 = x4 + x3 + x2 + 2x2 + 2x + 2
 = x4 + x3 + 3x2 + 2x + 2
b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a)
 = 2a5 - 10a3 + 4a4 - a2 + 5 - 2a + 3a3 - 15a + 6a2
 = 2a5 + 4a4 - 7a3 + 5a2 - 17a + 5
Tiết 3:
Bài 2: Chứng tỏ rằng đa thức sau không phụ thuộc vào biến.
	(x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1)
Giải: (x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1)
= 3x4 - 2x3 + x2 + 6x3 - 4x2 + 2x + 9x2 - 6x + 3 - 3x4 - 6x2 - 4x3 + 4x = 3
	Kết quả là một hằng số. Vậy đa thức trên không phụ thuộc vào biến.
Bài 3: Cho x = y + 5. Tính
a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
b. x2 + y(y - 2x) + 75
Giải: 
a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
Từ giả thiết x = y + 5 x - y = 5
Ta có: x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
 	= x2 + 2x + y2 - 2y - 2xy + 65
= x2- xy + y2 - xy + 2x - 2y + 65
=x(x - y) - y(x - y) + 2(x - y) + 65
= (x - y)(x - y) + 2(x - y) + 65
= (x - y)2 + 2(x - y) + 65
= 52 - 2.5 + 65 = 100
b. x2 + y(y - 2x) + 75
= x2 + y2 - 2xy + 75
= x(x - y) - y(x - y) + 75
= (x - y) (x - y) + 75
= 5.5 + 75 = 100
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức.
a. A = x3 - 30x2 - 31x + 1 tại x = 31
b. B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x tại x = 14
Giải:
a. Với x = 31 thì 
A = x3 - 30x2 - 31x + 1 = x3 - (x - 1)x2 - x.x +1
 = x3 - x3 + x2 + 1 = 1
b. Với x = 14 thì
B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13
 = x5 - (x + 1)x4 + (x + 2)x3 - (2x + 1)x2 + x(x - 1)
 = x5 - x5 - x4 + x4 + 2x3 - 2x3 - x2 + x2 - x = -x = - 14
Bài 5: CMR với mọi số nguyên n thì
a. (n2 + 3n - 1)(n + 2) - n3 + 2 chia hết cho 5.
b. (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1) chia hết cho 2.
Giải:
a. Ta có: (n2 + 3n - 1)(n + 2) - n3 + 2
= n3 + 3n2 - n + 2n2 + 6n - 2 - n3 + 2
= 5n2+ 5n = 5(n2 + n) n n
b. (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1)
= 6n2 + n + 30n + 5 - 6n2 - 10n + 3n + 5
= 24n + 10 = 2(12n + 5) n
Chủ đề 2: Tứ giác.
A. Mục tiêu:
- Học sinh nắm được định nghĩa tứ giác, tứ giác lồi, tổng các góc của tứ giác lồi.
- Biết vẽ, gọi tên các yếu tố, biết tính số đo các góc của tứ giác lồi.
B. Thời lượng: 1 tiết (tiết 4)
Tiết 4:
C. Thực hiện:
Câu hỏi 
1: Thế nào là một tứ giác, tứ giác lồi?
2: Tổng các góc của một tứ giác bằng?
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường chéo AC bằng cạnh AD. Chứng minh cạnh BC nhỏ hơn đường chéo BD.
Giải:	 C
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo	 B
Trong tam giác AOD ta có: 
AD < AO + OD (1)	 O	 
Trong tam giác BOC ta có 
BC < OC + BO (2)	 A	 D
Cộng từng vỊ của (1) và (2) ta có: 
AD + BC < AC + BD (3)	
Theo đề ra: AC = AD nên từ (3) BC < BD (®pcm)
Bài 2: Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA
a. CMR: BD là đường trung trực của AC
b. Chã biết góc B = 1000, góc D = 700.
Tính góc A và góc C.	
 	A
Giải:	
a. BA = BC (gt)
DA = DC (gt)	 B	 D
	BD là đường trung trực của AC
 C
b. (c.c.c)	 
	Góc <BAD = <BCD (hai góc tương ứng)	
ta lại có: Góc <BAD + <BCD = 3600 - <B - <D
= 3600 - 1000 - 70 0 = 1900
Do đó: Góc <A = <C = 1900 : 2 = 95 0
Bài 3: Tính các góc của tứ giác: ABCD biết rằng 
	Góc <A : <B : <C : <D = 1 : 2 : 3 : 4
Giải:
	Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và tổng các góc của tứ giác ta có:
	Do đó: góc <A = 360; < B= 720; <C = 1080 ; <D = 1440
Chủ đề 3: Hình thang
A. Mục tiêu:
- Nắm được định nghĩa hình thang, hình thang vuông, hình thang cân.
- Biết vẽ và tính số đo các góc của hình thang.
B. Thời lượng: 4 tiết (Tiết 5, 6, 7, 8)
C. Thực hiện:
Tiết 5:
Câu hỏi: 
1. Thế nào là hình thang, hình thang vuông, hình thang cân.
2. Hình thang có những tính chất nào?
3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân.
4. Định nghĩa đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang và tính chất của nó.
Bài 1: Tính các góc của hình thang ABCD (AB//CD) biết rằng góc <A = 3<D;
 <C = 300.
Giải: 
	Từ <A + <D = 1800, <A = 3<D <D = 450, <A = 1350
	Từ <B + <C = 1800, <B - <C = 300
	Ta tính được: <C = 
	<B = 1800 - 750 = 1050
Bài 2: Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia gica của góc D. CMR ABCD là hình thang.
Giải:	
có BC = CD là tam giác cân	B	 C
	 <D1 = <B1
Theo gt <D1 = <D2 <B1 = <D2. Do đó BC // AD
Vậy ABCD là hình thang	 
 A D 
Bài 3: Chứng minh rằng trong hình thang các tia phân giác của hai góc kÌ một cạnh bên vuông góc với nhau.
Giải:	 Xét hình thang ABCD có AB // CD A B
Ta có: <A1 = <A2 = <A
<D1 = <D2 = <D	 E
mà <A + <D = 1800	 D	 C
Nên <A1 + <D1 = 900 
Trong có <A1+ <D1 = 900 
	 <AED = 900. Vậy AE DE
Tiết 6:
Bài 4: Cho hình thang vuông ABCD có <A = <D = 900; AB = AD = 2cm, 
DC = 4cm. Tính các góc của hình thang.
Giải:	 A	 B
Kẻ BH vuông góc với CD. Hình thang ABHD 
có hai cạnh bên AD// BH AD = BH, AB = DH
Do đó: HB = HD = 2cm HC = 2cm
	BHC vuông tại H <C = 450 D C
 	<ABC = 1350	 
Bài 5: Hình thang cân ABCD có AB // CD. O là gia điểm của hai đường chéo. CMR: OA = OB, OC = OD	 A	 B
Giải:
Vì ABCD là hình thang cân nên 
AD = BC, <ADC = <BCD 
 (c.g.c)	 D C	 
	<C1 = <D1 cân OC = OD	 
Ta lại có: AC = BD nên OA = OB
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN.
a. Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?
b. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng <A = 400.
Giải:
a. Tam giác ABCD cân tại A 	 A
	<B = <C = 
Lại có BM = CN (gt) AM = AN M N 
	 cân tại A
 <M1 = <N1 = 
 <B = <M1 do đó: MN //BC	B	 C
 Vậy tứ giác BMNC là hình thang 
 Lại có: <B = <C nên BMNC là hình thang cân.
b. <B = <C = 700, <M2 = <N2 = 1100
Tiết 7:
Bài 7: Cho hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. CMR OE là đường trung trực của hai đáy.	 
Giải:	O
ABCD là hình thang cân <D = <C
 cân OD = OC	 
mà AD = BC (gt) OA = OB	 A	 B
Vậy O thuộc đường trung trực của hai đáy	 E
 (c.c.c) 
<C1 = <D1 ED = EC (1)	 D	 C
Lại có: AC = BD nên EA = EB (2) 
Từ (1) và (2) E thuộc đường trung trực của hai đáy.
	Vậy OE là đường trung trực của hai đáy.
Bài 8: 
a. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = b, đáy lớn CD = a. Đường cao AH. 
CMR: HD = , HC = (a, b có cùng đơn vị đo)
b.Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm, cạnh bên 17cm
Giải:
a. KỴ đường cao BK
 (cạnh huyền góc nhọn)
HD = KC	 A	 B
Hình thang ABKH có các cạnh bên 
AH, BK song song nên AB = HK
Ta có: a - b = DC - AB = DC - HK
	 = HD + KC = 2HD	 D H	 K C
	Vậy HD = , 
	HC = DC - HD = = 
b. Xét hình thang cân ABCD có đáy AB = 10cm, đáy CD = 26cm, cạnh bên 
AD = 17cm.
Trước hết ta có: HD = 8cm
 AH2 = 172 - 82 = 289 - 64 = 225 = 152
	Vậy AH = 15cm
Bài 9: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = DC. Gọi M là trung điểm của BC, I là gia điểm của BD và AM. CMR: AI = IM
Giải:	 	 A 
Gọi E là trung điểm của DC.	 D
Vì có BM = MC, DE = EC. 	 I 
Nên BD // ME DI // EM	 E
Do có AD = DE, DI // EM 
Nên AI = IM 	 B	M	 C 
Tiết 8:
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ thù là trung điểm của AD, BC, AC. CMR
EI // CD, IF // AB	 	 
b. EF < 	 	 
Giải:
 Xét có: AE = ED	 
 AI = IC nên EI // DC, EI = 	 
 Tương tự có: AI = IC, BF = FC	 
 B	
Nên IF // AB, IF = AB	 A
b. Trong ta có: EF EI + IF	 K
 EF 	 E	 F	
Vậy EF D C
Dấu “=” xảy ra khi E, I, F thẳng hàng, tức AB // DC
Bài 11: Cho hình thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN và BD, MN và AC. Cho biết AB = 6cm, AD = 14cm. Tính các độ dài MI, IK, KN.
Giải:
 Vì MN là đường trung bình của 
hình thang ABCD nên MN // AB // DC A B
Xét có AM = MD, MK // DC 
 KA = KC 	 	 
Do đó: MK = I K 
Tương tự: có AM = MD, MI // AB D	 C
nên BI = ID 
Do đó: MI = 
Từ đó ta có: IK = MK - MI = 7 - 3 = 4cm
Xét có BN = NC, NK // AB
 AK = KC Vậy KN = 
Bài 12: Dùng hình thang ABCD (AB // CD), biết <D = 900, AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm.
Giải: B B/ x
* Cách dùng:	 A 
- Dựng tam giác ABC, biết hai cạnh và góc 
xen giữa.
AD = 2cm, CD = 4cm, <D = 900
- Dựng tia Ax AD (Ax và C thuộc cùng D	 C
một nửa mặt phẳng bê AD)
- Dựng cung tròn tâm C có bán kính 3cm, cắt tia Ax ở B.
- KỴ đoạn thẳng BC.
* Chứng minh:
 Tứ giác ABCD là hình thang vì: AB // CD
 Hình thang ABCD có <D = 900, AD = 2cm, 
 CD = 4cm, Cb = 3cm.
 Vậy hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu bài toán.
* Biện luận:
Ta dùng được hai hình thang thoả mãn điều kiện bài toán: ABCD, AB/CD
Bài 13: Dùng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, <C = 500, 
<D = 700 A B B x
Giải:
* Phân tích
	Giả sử dùng được hình thang ABCD 
thoả mãn yêu cầu của bài toán. Qua A kẻ 
đường thẳng song song với BC cắt CD ở E.	 D E	 C
Hình thang ABCD có hai cạnh bên AE, BC
Song song nên EC = AB = 2cm. 
Do đó: DE = 2cm
Tam giác ADE dùng được vì biết một cạnh và 2 góc kÌ
Từ đó dùng được các điểm C và B.
* Cách dùng:
- Dựng tam giác ADE biết DE = 2cm, <D = 700, <E = 500
- Trên tia DE dựng điểm C sao cho DC = 4cm
- Dựng các tia Ax // EC, Cy // EA. Chóng cắt nhau tại B.
* Chứng minh:
ABCD là hình thang vì: AB // CD
Ta có: <D = 700, DC = 4cm, <C = <ABD <C = 500
Hình thang ABCE có hai cạnh bên AE, BC song song 
Nên AB = EC = 4 - 2 = 2cm
Chủ đề 4: Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
A. Mục tiêu:
- Học sinh nắm được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Biết vận dụng các hằng đẳng thức đó vào việc giải toán.
B. Thời lượng: 3 tiết (tiết 9, 10, 11)
C. Thực hiện:
Tiết 9:
Bài 1: Biểu diễn các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng.
a. x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1
b. u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2
Giải: 
a. x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1
 = x2 +2x(y + 1) + (y + 1)2
 = (x + y + 1)2
b. u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2
 = (u2 + 2u + 1) + (v2 + 2v + 1) + 2(u + 1)(v + 1)
 = (u + 1)2 + (v + 1)2 + 2(u + 1)(v + 1)
 = (u + 1 + v + 1)2
 = (u + v + 2)2
Bài 2: Điền đơn thức thích hợp vào các dấu *
a. 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
b. 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3
c. x3 - * + * - * = (* - 2y)3
Giải:
a. 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
	(2x)3 + * + * + (3y)3
	8x3 + 3(2x)2.3y + 3(2x).(3y)2 + (3y)2 = (2x + 3y)3
8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3
b. 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3
 (2x)3 + 3(2x)2y + 3.2x (y)2 + y3 = (2x + y)3
 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3
c. x3 - * + * - * = (* - 2y)3
 x3 - 3x2 .2y + 3x(2y)2 - (2y)3 = (x - 2y)3
 x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 = (x - 2y)3
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a. (a - b + c + d)(a - b - c - d)
b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)
c. (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
d. (x + y)3 - (x - y)3 
e. (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
Giải: 
a. (a - b + c + d)(a - b - c - d)
 = 
 = (a - b)2 - (c + d)2
 = a2 - 2ab + b2 - c2 - 2cd - d2
 = a2 + b2 - c2 - d2 - 2ab - 2cd
b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)
 = 
 = (x + 2z)2 - (2y)2
 = x2 + 6xz + 9z2 - 4y2
c. (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
 = (x3 - 1) (x3 + 1) = x6 - 1
d. (x + y)3 - (x - y)3
 = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) - (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3)
 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 - x3 + 3x2y - 3xy2 + y3
 = 6x2y + 2y3 = 2y(3x2 + y2)
e. (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
 = 
 = (x2 + 3x + 1 - 3x + 1)2 = (x2 + 2)2
Tiết 10:
Bài 4: Chứng minh rằng
a. (a2 + b2) (x2 + y2) = (ay - bx)2 + (· + by)2
b. (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
c. (x + y)4 + x4 + y4 = 2(x2 + xy + y2)2
Giải:
a. (a2 + b2) (x2 + y2) = (ay - bx)2 + (· + by)2
VP = (ay - bx)2 + (· + by)2
= ay2 - 2abxy + b2x2 + a2x2 + 2abxy + b2y2
= a2y2 + a2x2 + b2x2 + b2y2
= a2(x2 + y2) + b2(x2 + y2)
= (a2 + b2) (x2 + y2) = VT ®pcm
b. (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
VP = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
= a2 + 2ab + b2 + b2 + 2bc + c2 + c2 + 2ac + a2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2
= (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = VT ®pcm
c. (x + y)4 + x4 + y4 = 2(x2 + xy + y2)2
VT = (x + y)4 + x4 + y4
= x2 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 + x4 + y4
= 2(x4 + y4 + x2y2 + 2x3y + 2xy3 + 2x2y2)
= 2(x2 + y2 + xy)2 = VP ®pcm
Bài 5: Trong hai số sau, số nào lớn hơn.
a. A = 1632 + 74. 163 + 372 bà B = 1472 - 94. 147 + 472
b. C = (22 + 42 + .... + 1002) - (12 + 32 + .... + 992) và 
c. D = 38. 78 - (214 + 1)
d. E = và H = với x > y > 0
Giải:
a. A = (163 + 37)2 = 2002 = 40000
 B = (147 - 47)2 = 1002 = 10000
Vậy A > B
b. C = (22 - 12) + (42 - 32) + .... + (1002 - 992)
= 3 + 7 + .... + 199 = 
 D = (3 . 7)8 - (218 - 1) = 1
Vậy D < C
c. E = = H
(Vì x > y > 0)
Tiết 11:
Bài 6: Xác định các hệ số a, b sao cho đa thức sau viết dưới dạng bình phương của một đa thức nào đó.
a. x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b b. x4 + ax3 + bx2 - 8x + 1
Giải:
a. Giả thiết rằng: x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (x2 + cx + d)2 
Xét trường hợp: x4 + c2x2 + d2 + 2cx3 + 2dx2 + 2cdx
= x4 + 2cx3 + x2(c2 + 2d) + 2cdx + d2
 Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta có:
Xét trường hợp x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (- x2 + cx + d)2
Ta được: a = 2; b = 1; c = d = 1
Vậy x4 + 2x3 + 2x + 1 = (x2 + x + 1)2 = (- x2 - x - 1)2
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:
a. C = 5 - 8x - x2
b. D = - 3x(x + 3) - 7
Giải:
a. C = 5 - 8x - x2 = - x2 - 8x - 16 + 16 + 5
= - (x2 + 8x + 16) + 21 = - (x + 4)2 + 21
 Vì (x + 4)2 0 x - (x + 4)2 
 Do đó: - (x + 4)2 + 21 
Vậy giá trị lớn nhất của C là 21 khi x + 4 = 0 x = - 4
b. D = - 3x(x + 3) - 7 = - 3x2 - 9x - 7
 = - 3(x2 + 2x. ) - 7
= - 3
= - 3
Vì 
 Do đó: 
	Vậy giá trị lớn nhất của D là khi 
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức.
a. A = x2 + 5x + 8
b. B = x(x - 6)
Giải: A = x2 + 5x + 8 = x2 + 2. x. 
 = 
Vì nên 
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là khi 
b. B = x(x - 6) = x2 - 6x
= x2 + 6x + 9 - 9 = (x - 3)2 - 9
 Vì (x - 3)2 nên (x - 2)2 - 9 
	Vậy B có giá trị nhỏ nhất là - 9 khi x - 3 = 0 x = 3
Chủ đề 5: Phân tích đa thức thành nhân tư.
A. Mục tiêu:
- Ôn tập cho học sinh tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: 
a(b + c) = ab + ac
- Ôn tập cho học sinh nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tư.
+ Đặt nhân tư chung
+ Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
+ Nhóm các hạng tư
+ Phối hợp nhiều phương pháp.
Ngoài ra cho học sinh làm quen với nhiều phương pháp khác như:
+ Tách một hạng tư thành nhiều hạng tư
+ Thêm bớt cùng một hạng tư thích hợp.
+ Phương pháp đặt biến phụ.
B. Thời lượng: 3 tiết (tiết 12, 13, 14)
C. Thực hiện:
Tiết 12:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng phương pháp đặt nhân tư chung.
a. 12xy - 4x2y + 8xy2
b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y)
c. 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y)
d. 3x(a - x) + 4a(a - x)
Giải:
a. 12xy - 4x2y + 8xy2 = 4xy(3 - x + 2y)
b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y)
 = (x - 2y) (4x - 8y) = 4(x - 2y) (x - 2y)
 = 4(x - 2y)2
c. 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y)
 = 25x2(y - 1) + 5x3(y - 1)
 = (y - 1) (25x2 + 5x3) = 5x2(y - 1) (5 - x)
d. 3x(a - x) + 4a(a - x) = (a - x) (3x + 4a)
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
a. 
b. (x + a)2 - 25
c. x2 + 2x + 1 - y2 + 2y - 1
d. - 125a3 + 75a2 - 15a + 1
Giải:
a. = 
b. (x + a)2 - 25 = (x + a)2 - 52 = (x + a + 5) (x + a - 5)
c. x2 + 2x + 1 - y2 + 2y - 1 = (x + 2x + 1) - (y2 - 2y + 1)
 = (x + 1)2 - (y - 1)2 = (x + 1 + y - 1) (x + 1 - y + 1)
 = (x + y) (x - y + 2)
d. - 125a3 + 75a2 - 15a + 1 = (1 - 5a)3
Tiết 13:
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng phương pháp nhóm hạng tư.
a. 4x2 - 9y2 + 4x - 6y
b. x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3
c. a2x + a2y - 7x - 7y
d. x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2
Giải:
a. 4x2 - 9y2 + 4x - 6y
 = (4x2 - 9y2) + (4x - 6y) = (2x + 3y) (2x - 3y) + 2(2x - 3y)
 = (2x - 3y) (2x + 3y + 2)
b. x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3
 = x3 + y - 3x2y + 3xy2 - x - y3
 = (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3) - (x - y)
 = (x - y)3 - (x - y)
 = (x - y) = (x - y) (x - y + 1) (x - y - 1)
c. a2x + a2y - 7x - 7y
 = (a2x + a2y) - (7x + 7y) = a2(x + y) - 7(x + y)
 = (x + y) (a2 - 7)
d. x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2
 = = (x + 1)2 (x - 5) + x(x - 5)
 = (x - 5) = (x - 5) (x2 + 3x + 1)
Bài 4: Phân tích đa thức thnµh nhân tư bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
a. x4 + x2y2 + y4
b. x3 + 3x - 4
c. x3 - 3x2 + 2
d. 2x3 + x2 - 4x - 12
Giải:
a. x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2
 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 )2 - (xy)2 
 = (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 - xy)
b. x3 + 3x - 4 = x3 - 3x2 + 3x - 1 + 3x2 - 3
 = (x - 1)3 + 3(x2 - 1) = (x - 1)3 + 3(x + 1) (x - 1)
 = (x - 1) = (x - 1) (x2 + x + 4)
c. x3 - 3x2 + 2 = x3 - 3x2 + 3x - 1 - 3x + 3
 = (x - 1)3 - 3(x - 1) = (x - 1)
 = (x - 1) (x2 - 2x - 2)
d. 2x3 + x2 - 4x - 12 = (x2 - 4x + 4) + (2x3 - 16)
 = (x - 2)2 + 2(x3 - 8) = (x- 2)2 + 2(x - 2) (x2 + 2x + 4)
 = (x - 2) = (x - 2) (2x2 + 5x + 6)
Tiết 14:
Bài 5: Tính bằng cách hợp lÝ nhất giá trị các biểu thức
a. 
b. a2 - 86a + 13 với a = 87
c. a2 + 32a - 300 với a = 68
d. a3 - b 3 - 3ab(a - b) với a = - 27, b = - 33
Giải:
a. = 
b. a2 - 86a + 13 = 87(87 - 86) + 13 = 87 + 13 = 100
c. a2 + 32a - 300 = 68(68 + 32) - 300 = 68. 100 - 300 = 6500
d. a3 - b 3 - 3ab(a - b) = (a - b) (a2 + ab + b2 - 3ab)
 = (a - b)3 = (- 27 + 33)3 = 63 = 216
Bài 6: Tìm x biết:
a. (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 = 0
b. (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2
Giải:
a. (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 = 0
	(x - 2) (x - 3 + 1) - 1 = 0
 (x - 2)2 - 1 = 0
(x - 2 + 1) (x - 2 - 1) = 0
(x - 1) (x - 3) = 0
x = 1 hoặc x = 3
Vậy nghiệm của phương trình: x1 = 1, x2 = 3
b. (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2
 (x + 2)2 - (x + 1)2 - 2x(2x + 3) = 0
 (x + 2 + x + 1) (x + 2 - x - 1) - 2x(2x + 3) = 0
 (2x + 3) - 2x(2x + 3) = 0
 (2x + 3) (1 - 2x) = 0
 x = - hoặc x = 
Vậy nghiệm của PT: x1 = - , x2 = 
Chủ đề 6: Hình chữ nhật
A. Mục tiêu:
- Ôn tập cho học sinh các tính chất của hình chữ nhật.
- Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật
- Rèn luyện khả năng vẽ hình, chứng minh một bài toán.
B. Thời lượng: 3 tiết (tiết 15, 16, 17)	 
C. Thực hiện: A B
Tiết 15: 
Bài 1: Tìm x trên hình bên (®v đo: cm)
Giải:
 KỴ BH CD. Tứ giác ABHD có 3 
góc vuông nên là hình chữ nhật, do đó:	 D	 H	 C
 DH = AB = 16cm 
	HC = DC - DH = 24 - 16 = 8cm
Xét vuông theo định lý Pitago
BH = 
Vậy x = 15cm
Bài 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH kµ hình gì? Vì sao?
Giải:
Tam giác ABC có AE = EB, BF = FC B
	EF = AC (1)	 E	 F
Chứng minh tương tự: HG // AC (2) 
Từ (1), (2) EF // HG (*) 	 A	 C 
Chứng minh tương tự: EH // FG (**) 	 H	 G 
Từ (*) và (**) EFGH là hình bình hành.
EF // AC, BD AC EF BD 	 D	 
EF BD, EH // BD EF EH
Hình bình hành EFGH có góc E = 900 
 là hình chữ nhật
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, Điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.
a. Tứ giác EDME là hình gì? tính chu vi tứ giác đó.
b. Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất.
Giải:
a. Tứ giác ADME có góc <A = <D = <E = 900 B
Vậy tứ giác ADME là hình chữ nhật.	 D	 M
- Chu vi của hình chữ nhật ADME bằng: 
2(AD + DM) = 2(AD + DB) = 2AB 
 	= 2 . 4 = 8cm	 A	 	 C
b. Gọi H là trung điểm của BC, ta có AH BC
 ADME là hình chữ nhật DE = AM 
 Ta có: DE = AM > AH.
 Dấu “=” xảy ra khi M H
 	Vậy DE có độ dài nhỏ nhất là AH khi M là trung điểm của BC 
Tiết 16:
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M. Gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?	 	 A	 
Giải:	 E	 D
D đối xứng với G qua M GD = 2GM
G là trọng tâm của tam giác ABC 	 
 	BG = 2GM BG = GD
chứng minh tương tự: CG = GE 	 B C Tứ giác BEDC có hai đường chéo cắt nhau tại 	
trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành 	 
 (c.g.c) <B1 = <C1 
	BG = CG BD = CE	 
Hình bình hành BEDC có hai đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A . Điểm D thuộc cạnh AC. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của BD , BC, DC. Chứng minh rằng tứ giác EFEG là hình thang cân.	 B
Giải:	 	 
 Vì EF là đường trung bình của tam giác BDC
 nên EF // DC	
 Do đó: AEFG là hình thang 
 Do FG là đường trung bình của tam giác BDC A D G C
 Nên FG // BD góc <G1 = <D1 (đồng vị)
 Vì tam giác ABD vuông tại A, AE là đường 
trung tuyến nên AE = 
Do đó: tam giác AED cân tại E góc <A1 = <D1
Từ đó góc <G1 = <A1
Hình thang AEFG có hai góc kÌ một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.
Tiết 17:
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM
a. CMR: Góc <HAB = <MAC
b. Gọi D, E thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. CMR AM vuông góc với DE	 A
Giải:	
a. Ta có góc <A1 = <C (cùng phụ với <HAC) E
 AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền 	
 của tam giác ABC AM = MC 	 D O 	 
	góc <C = <A2 góc <A1 = <A2
b. Gọi O là giao điểm của AH và DE	 B	 H	 M	 C
 I là giao điểm của AM và DE
Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) 
	OA = OE góc <E1 = <OAE (1)
Ta lại có: AHC vuông
	góc <C + <OAE = 900 (2)
 ta có: góc <C = <A2 (3) (cm ở câu a)
 Từ (1), (2), (3) góc <E1 + <A2 = 900
	Góc <AIE = 900 tức AM DE
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC.
a. CMR: AH = DE
b. Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC
CMR: DI // EK
Giải:
a. Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật A
Do đó: AH = DE
b. Gọi O là giao điểm của AH và DE	 E
 ADHE là hình chữ nhật	 	 
	OH = OE góc <E1 = <H1 (1)	 D
Tam giác EHC vuông có EK là đường B	 C
trung tuyến ứng với cạnh huyền 
	HK = EK góc <E2 = <H2 (2) 
Từ (1), (2) góc <E1 + <E2 = <H1 + <H2 = <AHC = 900
Do đó: góc DEK = 900
Chứng minh tương tự ta có: góc EDI = 900
Vậy DI // EK (®pcm)
Chủ đề 7: Hình thoi
A. Mục tiêu: Giúp học sinh
- Hiểu rõ định nghĩa hình thoi, các tính chất của hình thoi, các dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình thoi.
- Rèn luyện khả năng tính toán, khả năng chứng minh các bài toán.
B. Thời lượng: 3 tiết (tiết 18, 19, 20)
C. Thực hiện:
Tiết 18:
Câu hỏi:
1. Thế nào là một hình thoi?
2. Nêu các tính chất của hình thoi.
3. Nêu các dấu hiệu nhận biết hình thoi.
Bài 1: 
a. Cho hình thoi ABCD, kỴ đường cao AH, AK. CMR: AH = AK
b. Hình bình hành ABCD có hai đường cao AH, AK bằng nhau. CMR: ABCD là hình thoi	 A
Giải:	 	 	
a. Xét AHB và AKD có:
AB = AD (vì ABCD là hình thoi)
Góc <B = <D (t/c hình thoi) 	 B	 D vuông AHB = AKD (cạnh huyền góc nhọn)	 H	 K
AH = AK (2 cạnh tương ứng)	 C	
b. Xét tam giác vuông AHB và AKD có: 
 AH = AK (gt)	
 Góc <B = <D (t/c hình bình hành)
	tam giác (cạnh góc vuông- góc nhọn kÌ)
Vậy AB = AD (2 cạnh tương ứng)
 Hình bình hành ABCD có 2 cạnh kÌ bằng nhau nên là hình thoi.
Bài 2: Hình thoi ABCD có góc <A = 600. kẻ hai đường cao BE, BF. Tam giác BÌ là tam giác gì? Vì sao?	 B	
Giải:
Xét và có:	 A	 C
AB = CB (®/n hình thoi)
Góc <A = <C (t/c hình thoi) E	 F
= (cạnh huyền- góc nhọn)	 D
	BE = BF	 
Vậy tam giác BEF cân
Lại có: góc <B = 	
Mà góc <B 1 = <B2 = 300 
	<B3 = 600 
	Vậy tam giác BEF đều.
Tiết 19:
Bài 3: Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là chân các đường góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Giải:	 B
Ta có; OF AB, OG CD	 E	 F
Mà AB // CD (t/c hình thoi)
	E, O, G thẳng hàng.	 A	 C
Chứng minh tương tự ta có 3 điểm	
 F, O, H thẳng hàng.	 H	 G
- Điểm O thuộc tia phân giác của góc B 	 D
nên cách đều 2 cạnh của góc do đó: OE = OF
Tương tự ta cũng có: OF = OG, OG = OH
Vậy tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình chữ nhật.
Bài 4: Cho hình thoi ABCD có góc <A = 600. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm N sao cho AM = DN. Tam giác BMN là tam giác gì? vì sao?
Giải:
Ta có: Tam giác ABD cân tai A
Và <A = 600 nên tam giác ABC là tam giác đều.
	AB = BD 	 B
góc <ABD = <D1 = 600 (t/c hình thoi)
Xét tam giác ABM và DBN có: 	 A	 C
AB = BD (chứng minh trên)	 	 	 N	 
Góc <A = <D2 (chứng minh trên) M	
AM = DN (gt) D	
ABM = (c.g.c)	
 BM = BN, <B1 = <B3
Ta lại có: góc, <B1 + <B2 = 600
	<B3 + <B2 = 600
Tam giác BMN cân có góc MBN = 600 nên là tam giác đều.
Bài 5: Hình thoi ABCD có chu vi bằng 16 đường cao AH bằng 2cm. Tính các góc của hình thoi.
Giải:
Gọi M là trung điểm của AD, ta có:	 	 A
HM = MA = MD = 2cm	 
Theo đề bài ta có: AH = 2cm	 B	 D
Do đó: tam giác AHM là tam giác đều 
	Góc <MAH = 600 <D = 300	 C
Từ đó ta có: góc <B = <C = 1500	 
Tiết 20:
Bài 6: Tứ giác ABCD có toạ độ các đỉnh như sau:	
	A(0, 2); B(3, 0); C(0, - 2); D(- 3, 0)
	Tứ giác ABCD là hình gì? Tính chu vi của tứ giác đó.
Giải:
	Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Lại có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi.
Cạnh của hình thoi 
AB = 	 A
AB = 	 
Vậy chu vi của hình thoi: 	 - 3	
	 D	 O	 B
 	 	 C
Bài 7: Cho hình thoi ABCD, có AB = AC, kỴ AE BC, AF CD
a. Chứng minh tam giác AEF là tam giác đều.
b. Biết AB = 4cm. Tính độ dài các đường chéo của hình thoi.
Giải:
 Tam giác ABC có AB = BC (®/n hình thoi)
AB = AC (gt)
Tam giác ABC đều góc <B = 600	 A
do đó: góc <D = 600
xét ABE và ADE có:
AB = AD (®/n hình thoi)	 D 	 B
<D = <B (chứng minh trên)	
(cạnh huyền- góc nhọn) 	 C 	 
AE = AF (2 cạnh tương ứng)
Vậy tam giác AEF cân tại A.	 
- Trong các tam giác đều ABC, AOC có AE và AF là các đường cao nên là phân giác của góc <BAC và <OAD
do đó: góc <EAC = <FAC = 300 góc <EAF = 600
Tam giác cân AEF có góc <EAF = 600 nên là tam giác đều.
Chủ đề 8: Hình vuông
A. Mục tiêu:
- Học sinh hiểu được định nghĩa hình vuông, thấy được hình vuông là dạng đặc biệt của hình chữ nhật và hình thoi.
- Biết chứng minh một tứ giác là hình vuông.
- Biết vận dụng các kiến thức về hình vuông trong các bài toán chứng minh, tính toán và các bài toán thực tế.
B. Thời lượng: 3 tiết (tiết 21, 22, 23)
C. Thực hiện:
Tiết 21:
Câu hỏi:
1. Thế nào là hình vuông?
2. Vì sao hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi?
3. Nêu các dấu hiệu nhận biết hình vuông?
4. Hình vuông có tâm đối xứng, có trục đối xứng không? Nếu có hãy ghi rõ.
Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vÊ đường thẳng song song với AB c¨t AC ở H. Qua I vÊ đường thẳng song song với AC c¨t AB ở K.
a. Tứ giác AHIK là hình gì?
b. Điểm I ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AHIK là hình thoi.
c. Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.
Giải:
a. Tứ giác AHIK có IH // AK, AH // KI	 A
tứ giác AHIK là hình bình hành.	 K	
b. Hình bình hành AHIK là hình thoi 	 	 
AI là đường phân giác của góc A	 B	 C
Vậy nếu I là giao điểm của tia phân giác 	 
góc A với cạnh BC thì AHIK là hình thoi.	 A
c. Hình bình hàng AHIK là hình chữ nhật 	 
 	góc <A = 900	 H
Vậy nếu tam giác ABC vuông tại A thì K
 AHIK là hình chữ nhật.
	 B	 C
Bài 2: Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi H là giao điểm của AQ và DP. Gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh rằng PHQK là hình vuông.	 
Giải: 	 A	 P	 Q
Tứ giác APCQ có AP // QC và AP = QC
Nên tứ giác APCQ là hình bình hành 	 H	 K
(dấu hiệu nhận biết)
AQ // PC (1)
Chứng minh tương tự ta có: BQ // PD (2)	 D	 Q	 C
Từ (1) và (2) Tứ giác PHQK là hình bình hành.
Lại có tứ giác APQD là hình bình hành 
vì có AP // DQ , AP = DQ
Hình bình hành APQD có góc <A = 900 
là hình chữ nhật
Hình chữ nhật APQD có AP = AD nên là hình vuông.
góc <PHQ = 900 và PH = HQ
Hình bình hành PHQK có góc <PHQ = 900 
và PH = HQ nên là hình vuông.
Tiết 22:
Bài 3: Cho tam giác vuông cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm H, G sao cho 
BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chóng cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Giải:	 A
Tam giác AGC có góc <C = 450
Nên tam giác FGC vuông cân	 E	 F
Do đó: GF = GC 	
Chứng minh tương tự EH = HB 
Do BH = CG = HG nên EH = HG = GF	 B	 C
Tứ giác EHGF có EH // FG 	 
(cùng