Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Lục Nam (Có đáp án)

Bạn đang xem tài liệu "Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Lục Nam (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TOÁN 8 NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (5,0 điểm) x3 x2 x2 x 1 2 x2 1. Cho biểu thức A 3 2 : 2 2 với x 0; x 1 x 2x x x x 1 x x a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A khi x 1. 919193 113 91919 11 2. Chứng minh rằng: . 919193 919083 91919 91908 3. Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41 là hai số chính phương. Bài 2: (4,0 điểm) 1. Cho a,b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn: a 2 c 2 b 2 d 2 . Chứng minh rằng a b c d là hợp số. 2. Cho đa thức P x x 2 x 4 x 6 x 8 2034 . Tìm số dư trong phép chia P x cho đa thức x 2 10x 19 . Bài 3: (4,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thoả mãn: x 2 y 2 z 2 xy 3y 2z 4 0 . 2. Cho a,b,c là ba số đôi một khác nhau thoả mãn: a b c 2 a2 b2 c2 a 2 b2 c 2 Tính giá trị của biểu thức: P a 2 2bc b2 2ac c 2 2ab Bài 4: (6,0 điểm) 1. Cho hình chữ nhật ABCD, H và I lần lượt là hình chiếu của B và D trên AC . Gọi lần lượt M ,O, K là trung điểm của AH, HI và CD. a) Chứng minh: B đối xứng với D qua O. b) Chứng minh: BM MK . 2. Cho tam giác nhọn ABC nhọn có đường cao AM , BN,CP . Gọi H là trực tâm của tam AB BC CA 2 giác ABC . Chứng minh rằng: 4 AM 2 BN 2 CP2 Bài 5: (1,0 điểm) Tìm các nghiệm tự nhiên x; y của phương trình: 2 x2 4y2 28 17 x4 y4 14y2 49 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang 1 ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TOÁN 8 Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (5,0 điểm) x3 x2 x2 x 1 2 x2 1. Cho biểu thức A 3 2 : 2 2 với x 0; x 1 x 2x x x x 1 x x a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A khi x 1. 919193 113 91919 11 2. Chứng minh rằng: . 919193 919083 91919 91908 3. Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41 là hai số chính phương. Lời giải 1. x3 x2 x2 x 1 2 x2 a) A 3 2 : 2 2 với x 0; x 1 x 2x x x x 1 x x x2 x 1 x x 1 1 2 x2 : 2 2 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x2 : x 1 2 x x 1 x x 1 x 1 : x 1 2 x x 1 x x 1 x x 1 x2 . . x 1 2 x 1 x 1 b) x2 1 1 Ta có x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số x 1 và khi x 1. x 1 1 1 1 x 1 2 x 1 . 2 x 1 2 2 2 4 x 1 x 1 x 1 1 2 x 1 1 x 2 TM Dấu “=” xảy ra khi x 1 x 1 1 x 1 x 1 1 x 0 L Vậy Pmin 4 khi x 2 . 2. 2 2 919193 113 91919 11 91919 91919.11 11 919193 919083 91919 91908 919192 91919.91908 919082 Trang 2 2 91919 11 91919 11 91919.11 . 91919 91908 919082 91919. 91919 91908 91919 11 919082 91919.11 91919 11 . 91919 91908 919082 91919.11 91919 91908 3. Để n 18 và n 41 là số chính phương thì n 18 p2 và n 41 q2 p,q ¥ p2 q2 n 18 n 41 59 p q p q 59 p q 1 p 30 Vì 59 là số nguyên tố nên p q 59 q 29 n 18 p2 302 900 n 882 Thay vào n 41 ta được 882 41 841 292 q2 là số chính phương. Vậy n 882 thì n 18 và n 41 là số chính phương. Bài 2: (4,0 điểm) 1. Cho a,b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn: a 2 c 2 b 2 d 2 . Chứng minh rằng a b c d là hợp số. 2. Cho đa thức P x x 2 x 4 x 6 x 8 2034 . Tìm số dư trong phép chia P x cho đa thức x 2 10x 19 . Lời giải 1. Xét a2 b2 c2 d 2 a b c d a a 1 b b 1 c c 1 d d 1 Vì a là số nguyên dương nên a, a 1 là hai số tự nhiên liên tiếp a a 1 2 Tương tự ta có b b 1 ;c c 1 ;d d 1 đều chia hết cho 2 a a 1 b b 1 c c 1 d d 1 là số chẵn. Ta có: a2 c2 b2 d 2 a2 b2 c2 d 2 2 b2 d 2 là số chẵn Do đó a b c d là số chẵn. Mà a b c d 2 Vậy a b c d là hợp số. 2. Cho đa thức P x x 2 x 4 x 6 x 8 2034 . Tìm số dư trong phép chia P x cho đa thức x 2 10x 19 . P x x 2 x 4 x 6 x 8 2034 x2 10x 16 x2 10x 24 2034 Đặt t x 2 10x 19 P x t 3 t 5 2034 t 2 2t 2019 Do đó t 2 2t 2019 chia cho t có số dư là 2019 Vậy P x cho đa thức x 2 10x 19 có số dư là 2019. Trang 3 Bài 3: (4,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thoả mãn: x 2 y 2 z 2 xy 3y 2z 4 0 . 2. Cho a,b,c là ba số đôi một khác nhau thoả mãn: a b c 2 a2 b2 c2 a 2 b2 c 2 Tính giá trị của biểu thức: P a 2 2bc b2 2ac c 2 2ab Lời giải 1. 2 2 2 2 2 y 2 3 2 x y z xy 3y 2z 4 0 x xy z 2z 1 y 3y 3 0 4 4 2 y 2 3 2 x z 1 y 2 0 1 2 4 y x 0 2 x 1 Phương trình 1 0 z 1 0 z 1 y 2 0 y 2 Vậy x, y, z 1;2;1 . 2. a b c 2 a2 b2 c2 ab ac bc 0 a2 a2 a2 Ta có a2 2bc a2 ab ac bc a b a c b2 b2 c2 c2 Tươg tự ; b2 2ac b a b c c2 2ab c a c b a2 b2 c2 a2 b2 c2 P a2 2bc b2 2ac c2 2ab a b a c b a b c c a c b a b a c b c 1. a b a c b c Bài 4: (6,0 điểm) 1. Cho hình chữ nhật ABCD, H và I lần lượt là hình chiếu của B và D trên AC . Gọi lần lượt M ,O, K là trung điểm của AH, HI và CD. a) Chứng minh: B đối xứng với D qua O. b) Chứng minh: BM MK . 2. Cho tam giác nhọn ABC nhọn có đường cao AM , BN,CP . Gọi H là trực tâm của tam AB BC CA 2 giác ABC . Chứng minh rằng: 4 AM 2 BN 2 CP2 Lời giải 1. Trang 4 BH / /DI AC a) Ta có tứ giác BHDI là hình bình hành (vì ) BH DI OBH ODI Có O là trung điểm của HI nên O cũng là trung điểm của BD. Vậy B đối xứng với D qua O. b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BH tại N MN BC và N là trung điểm của BH MN là trung bình của AHB MN / / AB 1 MN AB 2 MN //CK //AB Ta có: 1 nên MNCK là hình bình hành CN //MK 1 MN CK AB 2 Tam giác BMC có N là trực tâm CN BM 2 Từ 1 và 2 suy ra BM MK 2. Vẽ Cx CP Cx // AP . Gọi D là điểm dối xứng của A qua Cx AB / /Cx Ta có AB AD B· AD 90 Cx AD ACD có Cx vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ACD cân tại C . Ta có tứ giác APCI là hình chữ nhật (vì P· AI ·APC P· CI 90 ) Trang 5 AI CP Mà AD 2AI nên AD 2CP Xét 3 điểm B,C, D ta có: BD BC CD ABD vuông tại A nên: AB2 AD2 BD2 AB2 AD2 BC CD 2 AB2 4CP2 BC AC 2 4CP2 BC AC 2 AB2 Tương tự: 4AM 2 AB AC 2 BC 2 4BN 2 AB BC 2 AC 2 Công vế theo vế ta được: 4 AM 2 BN 2 CP2 AB BC AC 2 AB BC CA 2 Vậy 4 AM 2 BN 2 CP2 Bài 5: (1,0 điểm) Tìm các nghiệm tự nhiên x; y của phương trình: 2 x2 4y2 28 17 x4 y4 14y2 49 Lời giải 2 2 2 x2 4y2 28 17 x4 y4 14y2 49 x2 4 y2 7 17 x4 y2 7 Sử dụng bất đăng thức Bunhiacovski ta có: 2 2 2 2 x2 4 y2 7 12 42 x4 y2 7 x2 4 y2 7 17 x4 y2 7 Dấu “=” xảy ra khi 4x2 y2 7 2x y 2x y 7 2x y 2x y Vì x; y ¥ nên , chúng đều có giá trị nguyên nên ta suy được 2x y 0 2x y 7 x 2 . 2x y 1 y 3 Vậy phương trình có một nghiệm là 2;3 . = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang 6
Tài liệu đính kèm:
de_thi_chon_hoc_sinh_gioi_cap_huyen_mon_toan_8_nam_hoc_2018.docx