Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD & ĐT Lập Thạch

PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
)
(Đềthicó 01 trang)
Câu 1(2 điểm).Phân tích thành nhân tử đa thức sau
Câu 2(2 điểm). Cho và. Tính giá trị của biểu thức
Câu 3(2 điểm).Tìm số tự nhiên sao cho phân thức nhận giá trị nguyên.
Câu 4(3 điểm).Rút gọn biểu thức
với
Câu 5(2 điểm). Cho các sốvà. Tính giá trị biểu thức
Câu 6(2 điểm).Cho là hai số chính phương lẻ liên tiếp.Chứng minh rằng
Câu 7(2 điểm).Cho tam giácnhọn. Ở phía ngoài tam giác, vẽ các tam giác vuông cân tại là . Gọilà đường cao của tam giác. Trên tia đối của tialấy điểm sao cho. Chứng minh rằnglà hình bình hành.
Câu 8(2 điểm). Cho tam giáccó, các đường trung tuyếnvàcó độ dài theo thứ tự bằng và. Tính diện tích tam giác.
Câu 9(2 điểm). Cho tứ giác gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằngcùng đi qua một điểm.
Câu 10(1 điểm).Tứ giáccó. Chứng minh rằng tồn tại một cạnh của tứ giác nhỏ hơn 2018.
----- Hết -----
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.................................................................................; Số báo danh:....................
PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG
NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN: TOÁN 8 
Câu
Nội dung
Điểm
1
(2Đ)
Câu 1(2 điểm). Phântíchthànhnhântửđathứcsau
Ta có
0,5
0,5
0,5
0,5
2
(2Đ)
Câu 2(2 điểm). Cho và. Tínhgiátrịcủabiểuthức
0,5
0,5
0,5
0,5
Ta có
Vậy
3
(2Đ)
Câu 3(2 điểm).Tìmsốtựnhiênsaochophânthứcnhậngiátrịnguyên.
0,25
0,5
0,5
0,25
0,5
ĐK: 
Ta có
Do làsốtựnhiênnênnhậngiátrịnguyênkhivàchỉkhi
*) (chọn)
*) (chọn)
*) (chọn)
*) (loại)
Vậy
4
(3Đ)
Câu 4(3 điểm).Rútgọnbiểuthức
với
0,75
0,75
0,5
0,5
0,5
5
(2Đ)
Câu 5(2 điểm). Cho cácsốvà. Tínhgiátrịbiểuthức
0,75
0,5
0,5
0,25
Ta có
Do , nên
Mà
Do đó.
Vậy
6
(2Đ)
Câu 6(2 điểm). Cho làhaisốchínhphươnglẻliêntiếp. Chứng minh rằng
0,5
0,5
0,5
0,5
làhaisốchínhphươnglẻliêntiếpnênchúngcódạng
Do đó
Ta có
*) (1)
*) (2)
Mà (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có
Vậy
7
(2Đ)
Câu 7(2 điểm). Cho tam giácnhọn. Ở phíangoài tam giác, vẽcác tam giácvuôngcântạilà. Gọilàđườngcaocủa tam giác. Trêntiađốicủatialấyđiểmsaocho. Chứng minh rằnglàhìnhbìnhhành.
1
0,5
0,5
*) Xétvàcó
 (gt)
 (cùngphụvới )
 (gt)
Suyra , mànên (1)
*) Chứng minh tươngtự ta được (2)
Từ (1) và (2) ta đượctứgiáclàhìnhbìnhhành.
8
(2Đ)
Câu 8(2 điểm). Cho tam giáccó, cácđườngtrungtuyếnvàcóđộdàitheothứtựbằngvà. Tínhdiệntích tam giác.
0,5
0,5
0,5
0,5
Gọilàgiaođiểmcủavà. Ta có
Ta có
Suyra , theođịnhlí Pi – ta – go đảothì tam giácvuôngtại. Do đó
Vìlàtrungđiểmcủanên
9
(2Đ)
Câu 9(2 điểm). Cho tứgiácgọilầnlượtlàtrungđiểmcủa . Chứng minh rằngcùngđi qua mộtđiểm.
0,75
0,75
0,5
Gọilàgiaođiểmcủavà
*) Theo tínhchấtđườngtrungbìnhcủa tam giác ta có
 (cùng song songvới )
Suyralàhìnhbìnhhành. Do đólàtrungđiểm (1)
*) Theo tínhchấtđườngtrungbìnhcủa tam giác ta có
 (cùng song songvới )
Suyralàhìnhbìnhhành. Do đóđi qua (2)
*) Từ (1) và (2) ta cócùngđi qua mộtđiểm. 
10
(1Đ)
Câu 10(1 điểm).Tứgiáccó. Chứng minh rằng tồn tại một cạnh của tứ giác nhỏ hơn 2018.
0,5
0,5
Gọilàgiaođiểmcủavà.
Theo bấtđẳngthức tam giác ta có
Vậytronghaicạnhtồntạimộtcạnhnhỏhơn 2018.