Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Gia Lâm (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT HUYỆN GIA LÂM ĐỀ THI HSG TOÁN 8
 NĂM HỌC: 2020 – 2021
 Thời gian làm bài: 90 phút
Bài 1: (5,0 điểm)
 x 2 1 10 x2 
 Cho biểu thức: A 2 : x 2 
 x 4 2 x x 2 x 2 
 1. Rút gọn biểu thức A
 2. Tính giá trị của A biết x 3 1
 3. Tìm giá trị của x để A 0
 4. Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (3,0 điểm) Giải các phương trình sau:
 x 1 x 2 x 3 x 4
 1. 
 6 5 4 3
 1 1 1 3
 2. 
 x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 4
Bài 3: (5,0 điểm) 
 1. Cho biểu thức A 5x2 y2 2xy 14x 2y 5
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
 2020 2020
 2. Chứng minh rằng đa thức A x x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho đa thức 
 B x x 1
 3. Chứng minh rằng a3b ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b .
 4. Cho hai số x, y thỏa mãn x y 2 . Chứng minh rằng: x2 y2 x4 y4
Bài 4: (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có AB a , hai đường chéo cắt nhau tạiO . Trên hai cạnh 
 AB, BC lần lượt lấy hai điểm E và G sao cho . Gọi H là giao điểm của tia AG và tia DC , I là 
 giao điểm của tia OG và đoạn thẳng BH .
 1. Chứng minh rằng: OGE vuông cân.
 2. Tính diện tích tứ giác OEBG theo a
 3. Chứng minh rằng: EG//BI
 4. Gọi K là giao điểm của tia EO và tia IC . Chứng minh rằng: KG  EI
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG 8
 GIA LÂM
 Năm học: 2020-2021
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Bài 1: (5,0 điểm)
 x 2 1 10 x2 
 Cho biểu thức: A 2 : x 2 
 x 4 2 x x 2 x 2 
 1. Rút gọn biểu thức A
 2. Tính giá trị của A biết x 3 1
 3. Tìm giá trị của x để A 0
 4. Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
 Lời giải
 ĐKXĐ: x 2
 x 2 1 10 x2 
 1) A 2 : x 2 
 x 4 2 x x 2 x 2 
 x 2 x 2 x 2 x2 4 10 x2
 A :
 x 2 x 2 x 2
 6 6
 A :
 x 2 x 2 x 2
 6 x 2
 A .
 x 2 x 2 6
 1
 A 
 x 2
 2) Ta có: x 3 1
 x 3 1
 x 3 1
 x 2 (ko t / m)
 x 4 (t/m)
 1 1
 Với x 4 thay vào A ta có: A 
 4 2 6
 1
 3) Để A 0 thì 0 mà 1 0 nên x 2 0 x 2
 x 2
 Vậy A 0 khi x 2
 1
 4) Để A nhận giá trị nguyên thì ¢ nên x 2 U 1 1;1 x 1;3 (thỏa mãn điều 
 x 2
 kiện)
 Trang 2 Bài 2: (3,0 điểm) Giải các phương trình sau:
 x 1 x 2 x 3 x 4
 1. 
 6 5 4 3
 1 1 1 3
 2. 
 x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 4
 Lời giải
 x 1 x 2 x 3 x 4
 1) 
 6 5 4 3
 x 1 x 2 x 3 x 4
 1 1 1 1
 6 5 4 3
 x 7 x 7 x 7 x 7
 6 5 4 3
 x 7 x 7 x 7 x 7
 0
 6 5 4 3
 1 1 1 1 
 x 7 0
 6 5 4 3 
 x 7 0
 x 7
 Vậy x 7
 1 1 1 3
 2) ĐK: x 0; x 1; x 2; x 3
 x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 4
 1 1 1 3
 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 4
 1 1 1 1 1 1 3
 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 4
 1 1 3
 x x 3 4
 x 3 x 3x x 3 
 x x 3 4x x 3 
 3.4 3x x 3 
 x2 3x 4 0
 x 1 x 4 0
 x 4 0 x 4
 ( thỏa mãn điều kiện)
 x 1 0 x 1
 Vậy x 1; x 4
Bài 3: (5,0 điểm) 
 Trang 3 1. Cho biểu thức A 5x2 y2 2xy 14x 2y 5
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
 2020 2020
2. Chứng minh rằng đa thức A x x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho đa thức 
B x x 1
3. Chứng minh rằng a3b ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b .
4. Cho hai số x, y thỏa mãn x y 2 . Chứng minh rằng: x2 y2 x4 y4
 Lời giải
1) A 5x2 y2 2xy 14x 2y 5
A x2 y2 1 2xy 2x 2y 4x2 12x 9 5
A x y 1 2 2x 3 2 5 5
 1
 y 
 x y 1 0 2
Dấu “=” xảy ra khi 
 2x 3 0 3
 x 
 2
 1
 y 
 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 5 khi 
 3
 x 
 2
 2020 2020
2) Chứng minh rằng đa thức A x x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho đa thức 
B x x 1
Ta thấy đa thức B x x 1 có nghiệm là x 1
 2020 2019
Mà A 1 12 1 1 12 1 1 2 0 nên đa thức A x phải có 1 nhân tử là x 1. 
Vậy nên đa thức A x chia hết cho đa thức B x 
3) Chứng minh rằng a3b ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b .
Xét A a3b ab3 ab a2 1 ab b2 1 
 A ab a 1 a 1 ab b 1 b 1 
Do a 1;a;a 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên ab a 1 a 1 chia hết cho 6
Tương tự : b 1;b;b 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên ab b 1 b 1 chia hết cho 6
Do vậy: A ab a 1 a 1 ab b 1 b 1 chia hết cho 6
Do đó: A a3b ab3 chia hết cho 6
 Trang 4 x2 y2 x3 y3 (1)
 4) Ta cần chứng minh: 
 x3 y3 x4 y4 (2)
 Thật vậy: x2 y2 x3 y3 x y x2 y2 2 x3 y3 vì x y 2
 x3 xy2 x2 y y3 2x3 2y3
 0 x3 xy2 x2 y y3
 0 x2 x y y2 x y 
 0 x2 y2 x y 
 2 2
 0 x y x y luôn đúng vì x y 2 0; x y 0
 Từ (2) x3 y3 x4 y4 
 x y x3 y3 2 x4 y4 vì x y 2
 x4 xy3 x3 y y4 2x4 2y4
 0 x4 xy3 x3 y y4
 0 x3 x y y3 x y 
 0 x3 y3 x y 
 0 x2 xy y2 x y 2 luôn đúng
 2
 2 2 1 3 2 2
 vì x xy y x y y 0x, y; x y 0
 2 4
 Từ (1) và (2) suy ra x2 y2 x4 y4 với x y 2
Bài 4: (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có AB a , hai đường chéo cắt nhau tạiO . Trên hai cạnh 
 AB, BC lần lượt lấy hai điểm E và G sao cho . Gọi H là giao điểm của tia AG và tia DC , I là 
 giao điểm của tia OG và đoạn thẳng BH .
 1. Chứng minh rằng: OGE vuông cân.
 2. Tính diện tích tứ giác OEBG theo a
 3. Chứng minh rằng: EG//BI
 4. Gọi K là giao điểm của tia EO và tia IC . Chứng minh rằng: KG  EI
 Lời giải
 Trang 5 A E B
 1
 O
 G
 1
 2 I
 1
D C H
 K
Xét OAE và OBG có:
AE BG 
 OE OG (1)
 0 
O· AE O· BG 45  OAE OBG (cgc) 
 ·AOE O· BG
OA OB 
 
Mà ·AOE E· OB 900
 B· OG E· OB 900
 E· OG 900 (2)
Từ (1) và (2) suy ra OEG vuông cân tại O
2) Ta có: sOEBG s OGB s OEB
 sOEBG s OEA s OEB s ABC
 1 1
Mà S S a2
 ABO 4 ABCD 4
 1
Nên S a2 (đvdt)
 OEBG 4
 AG BG
3) Vì AB//CH nên 
 GH GC
Mà BG AE;GC EB ( Vì GC BC BG; EB AB AE )
 AG AE
Nên EG//BH hay EG//BI
 GH BE
 µ · 0
4) Vì EG//BI nên I1 OGE 45 ( Vì OGE vuông cân tại O)
Xét OGC và BGI có:
µ µ 0 · ·
I1 C1 45 ;OGC BGI (đối đỉnh)
 Trang 6 OG GC
 OGC ∽ BGI (g-g) 
 BG GI
Lại có: O· GB C· GI (đối đỉnh) nên OGB ∽ CGI (c-g-c)
 µ µ 0 · µ µ 0
 I2 B1 45 BIK I1 I2 90 KI  BI
Mà EG//BI EG  CI
 IG  EK 
Ta có:  G là trọng tâm EIK KG  EI
 EG  KI 
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 7