Đề thi thử chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 lần 1

ĐỀ THI THỬ HSG LẦN 1
Câu 1: (4,0 điểm).
1) Chứng minh rằng tổng hai số chính phương liên tiếp cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.
2) Cho và là các số tự nhiên thỏa mãn 
Chứng minh rằng: và là các số chính phương.
Câu 2: (5,0 điểm).
1) Tìm x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau: 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0.
2) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)	x4 +4 	b)	x2(x4 - 1)(x2 + 2) + 1 
c) . 
3) Cho là các số tự nhiên có tổng cộng bằng 
Chứng minh rằng: chia hết cho 3.
Câu 3. (5,0 điểm). 
1) Chứng minh rằng: 
2) Cho Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố.
3) Cho và Chứng minh rằng 
Câu 4: (5,0 điểm): Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N.
	1/ Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh.
	2/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam giác CME luôn có chu vi không đổi.
	3/ Tia AM cắt đường thẳng CD ở G. Chứng minh rằng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Câu 1: (4,0 điểm).
1) Gọi hai số lần lượt là và 
Theo đề bài ra ta có: 
=là một số chính phương lẻ vì là số chẵn 
là số lẻ
2) Từ có 
Cũng có : Suy ra 
Gọi . Chứng minh được 
là số chính phương là số chính phương (đpcm)
Câu 2: (5,0 điểm).
1) Đưa về : 
 và và 
 và và 
2) a) (
b)
c) 
3) Dễ thấy là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
Xét hiệu 
 chia hết cho 3
Mà là các số tự nhiên có tổng bằng 
Do vậy chia hết cho 3.
Câu 3. (5,0 điểm). 
1) 
( 7 số nguyên liên tiếp ) chia hết cho 7
2) Ta có:
Vì n là số tự nhiên nên . Như vậy muốn là số nguyên tố thì phải có hay 
Khi đó là số nguyên tố.
3) Cho và Chứng minh rằng 
a) Ta có
b) Từ 
Do đó: 
Suy ra : 
 (do )
Suy ra 
Câu 4
 1) Chỉ ra tam giác NIM = tam giác EIK
=>MN = KE
Chỉ ra MN // KE => Tứ giác MNKE là hình bình hành 
	+ Chỉ ra tam giác AMK vuông cân tại A để có AE KM 
	+ Tứ giác MNKE là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau nên MNKE là hình thoi. 
 2) 
	+ Từ hai tam giác ABM và ADK bằng nhau ta có MB = DK nên EK = MB + ED. 
	+ Tam giác AMK vuông cân tại A có MI = IK nên AI là trung trực của MK do đó ME = EK. 
	+ Từ đó ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a
 + KL: 
 3)
	+ Tam giác AMK vuông cân tại A nên AM = AK; do đó 
	= . 
	+ Tam giác AKG vuông tại A nên AK . AG = KG . AD = 2. dt AKG, do đó AK2 . AG2 = KG2 . AD2. 
	+ Mặt khác lại có KG2 = AK2 + AG2 và AD = a nên ta có 
AK2 . AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay , suy ra =