Giáo án Hình học Lớp 8 - Bài 11: Hình thoi

Bài 11. HÌNH THOI
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi
.
Nhận xét: hình thoi là một hình bình hành đặc biệc.
2. Tính chất
Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.
Trong hình thoi:
Hai đường chéo vuông góc với nhau.
Mỗi đường chéo là đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi mà nó đi qua.
3. Dấu hiệu nhận biết
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh mà nó đi qua là hình thoi.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình thoi
Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thoi.
Ví dụ 1. Cho tứ giác có , gọi , , , lần lượt là trung điểm các cạnh , , , . Chứng minh rằng là hình thoi.
Lời giải
 có là đường trung bình nên .
Hoàn toàn tương tự, xét các tam giác , , , ta được
Lại có nên .
Do đó là hình thoi.
Dạng 2: Vận dụng tính chất của hình thoi để tính toán và chứng minh các tính chất khác
Vận dụng các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình thoi.
Ví dụ 2. Cho hình thoi tâm . Độ dài cm, cm. Tính độ dài cạnh hình thoi. Lời giải
 là hình thoi nên vuông tại .
Áp dụng Định lí Pytago ta có
Ví dụ 3. Cho hình thoi có . Kẻ , . Chứng minh
a) ;	b) Tam giác đều.
Lời giải
a) Vì là phân giác của (do là hình thoi)
nên cách đều hai cạnh và .
Hay . 
b) Hình thoi có và nên đều.
Do đó đường cao cũng là đường phân giác, suy ra .
Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được .
Suy ra , vậy đều.
Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác là hình thoi
Vận dụng các dấu hiệu nhận biết của hình thoi để tìm điều kiện thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng, trong hình thang:
a) Chứng minh: trong hình thang, trung điểm của hai đường chéo và hai cạnh đáy là bốn đỉnh của một hình bình hành;
c) Hình thang phải có thêm điều kiện gì để trung điểm của hai đường chéo và hai cạnh đáy là bốn đỉnh của hình thoi.
Lời giải
a) Giả sử là hình thang và , , , lần lượt là trung điểm của , , , .
 có là đường trung bình nên và .
 có là đường trung bình nên và .
Suy ra và , do đó là hình bình hành.
b) có là đường trung bình nên .
Để hình bình hành là hình thoi thì , nghĩa là .
Khi đó hình thang là hình thang cân.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác , phân giác . Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại , qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Chứng minh là phân giác của .
Lời giải
Tứ giác có và 
nên là hình bình hành.
Mặc khác đường chéo là phân giác của 
nên là hình thoi.
Do đó đường chéo là phân giác của .
Bài 2. a) Cạnh của một hình thoi bằng , một đường chéo bằng . Tính độ dài đường chéo còn lại.
b) Cho hình thoi như hình vẽ bên. Tính .
Lời giải
a) Hình thoi có và .
Áp dụng các tính chất của hình thoi, ta có
Suy ra .
b) Vì là hình thoi và nên .
Hơn nữa, là phân giác của (hình thoi ). Do đó .
Bài 3. Cho hình chữ nhật . Gọi , , , lần lượt là trung điểm của , , , . Chứng minh:
a) là hình thoi.	b) , , , đồng quy.
Lời giải
a) có là đường trung bình nên và .
 có là đường trung bình nên và .
Suy ra và . Do đó là hình bình hành.
Hơn nữa, có là đường trung bình nên .
Mà (hình chữ nhật ) nên , suy ra là hình thoi.
b) Vì là hình chữ nhật nên và .
Do đó tứ giác là hình bình hành.
Mà là trung điểm của đường chéo (trong hình chữ nhật ).
Nên cũng là trung điểm của đường chéo .
Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được là hình bình hành.
Và suy ra cũng là trung điểm của đường chéo .
Vậy , , , đồng quy tại .
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 4. Cho hình bình hành có vuông góc với . Gọi , theo thứ tự là trung điểm của các cạnh , . Chứng minh tứ giác là hình thoi.
Lời giải
Hình bình hành có và .
Suy ra .
 vuông tại có là đường trung tuyến,
nên .
 vuông tại có là đường trung tuyến,
nên .
Lại có (do là hình bình hành),
Vậỵ , hay là hình thoi.
Bài 5. Cho hình thoi tâm . Độ dài cm, cm. Tính độ dài cạnh hình thoi. Lời giải
Theo tính chất của hình thoi:
Và vuông tại nên áp dụng Định lí Pytago ta có
Bài 6. Cho hình thoi , gọi là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh , , , lấy theo thứ tự các điểm , , , sao cho . Chứng minh:
a) , , thẳng hàng và , , thẳng hàng;
b) Tứ giác là hình chữ nhật.
Lời giải
a) Tứ giác có và (hình thoi ) nên là hình bình hành.
Mà là trung điểm (hình thoi ) nên là trung điểm .
Tứ giác có và (hình thoi ) nên là hình bình hành.
Mà là trung điểm (vì hình thoi ) nên là trung điểm .
Vậy , , thẳng hàng và , , thẳng hàng.
b) Tứ giác có cắt tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Hình thoi có là phân giác của và , suy ra và .
Do đó hay , hay là hình chữ nhật.
Bài 7. Cho tam giác , qua điểm thuộc cạnh , kẻ các đường thẳng song song với và , cắt và theo lần lượt ở và .
a) Tứ giác là hình gì?
b) Điểm ở vị trí nào trên thì là hình thoi.
Lời giải
a) Tứ giác có và nên là hình bình hành.
b) Để hình bình hành là hình thoi thì là phân giác của góc .
	a)	b)
--- HẾT ---