Giáo án Hình học Lớp 8 - Bài 8: Đối xứng tâm

Bài 8. ĐỐI XỨNG TÂM
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Hai điểm đối xứng qua một điểm
Hai điểm được gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
A đối xứng với A’ qua O khi và chỉ khi O là trung điểm của AA’.
Quy ước: Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O là chính nó.
2. Hai hình đối xứng với nhau qua một điểm
Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu một điểm bất kì thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại.
3. Hình có tâm đối xứng
Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm O cũng thuộc hình H.
4. Định lý
Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một điểm
Sử dụng định nghĩa hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một điểm.
Ví dụ 1. Cho tam giác . Trên các cạnh , , lần lượt lấy các điểm , 
, sao cho và . Gọi là trung điểm 
của .
a) Tứ giác là hình gì?
b) Chứng minh rằng điểm đối xứng với điểm qua điểm .
Lời giải
a) Ta có và .
 và . 
 là hình bình hành.
b) Ta có tứ giác là hình bình hành và là trung điểm của .
 là trung điểm của .
 Điểm đối xứng với điểm qua điểm .
Ví dụ 2. Cho tam giác . Gọi các điểm , theo thứ tự là trung điểm của và . Lấy đối xứng với qua điểm và đối xứng với qua điểm .
a) Các tứ giác , là hình gì?
b) Chứng minh rằng hai điểm , đối xứng với nhau qua điểm .
Lời giải
a) Ta có: là trung điểm và là trung điểm .
 Tứ giác có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
 là hình bình hành.
Chứng minh tương tự: là hình bình hành.
b) là hình bình hành và . (1)
 là hình bình hành và 
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra , , thẳng hàng và nên hai điểm , đối xứng với nhau qua điểm .
Dạng 2: Sử dụng tính chất đối xứng để giải toán
Sử dụng tính chất: hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì bằng nhau.
Ví dụ 3. Cho tam giác . Vẽ điểm đối xứng với qua , vẽ điểm đối xứng với qua . Gọi là điểm nằm giữa và . Tia cắt tại . Chứng minh:
a) Tứ giác là hình bình hành;	b) .
Lời giải
a) Tứ giác có 2 đường chéo và cắt nhau tại trung điểm ( và );
 là hình bình hành.
b) Ta có
 (giả thiết);
 (đối đỉnh);
.
 (g-c-g).
 .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác , điểm thuộc cạnh . Từ kẻ đường thẳng song song với cạnh , cắt cạnh tại và đường thẳng qua song song với cắt B tại . Chứng minh hai điểm và đối xứng với nhau qua trung điểm của đoạn thẳng .
Lời giải
Ta có và .
 và .
 là hình bình hành.
 là trung điểm của cũng là trung điểm của (2 đường chéo).
 và đối xứng với nhau qua .
Bài 2. Cho tam giác . Gọi , theo thứ tự là trung điểm của các cạnh và . Một điểm bất kì thuộc cạnh , gọi điểm đối xứng với qua là và điểm đối xứng của qua điểm là . Chứng minh:
a) thuộc đường thẳng ;	b) là hình bình hành.
Lời giải
a) Ta có và .
 tứ giác có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
 là hình bình hành.
 . (1)
Ta có và .
 Tứ giác có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
 là hình bình hành.
 .(2)
Từ (1) và (2) , , thẳng hàng .
b) Vì và 
Nên là hình bình hành.
Bài 3. Cho hình bình hành . Trên cạnh lấy điểm và trên cạnh lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng hai điểm , đối xứng với nhau qua giao điểm của các đường chéo , .
Lời giải
Ta có và là hình bình hành.
 cắt tại trung điểm của nên , , thẳng hàng và cũng là trung điểm của . Vậy hai điểm , đối xứng với nhau qua giao điểm của các đường chéo , . 
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 4. Cho hình bình hành . Gọi là giao điểm của hai đường chéo. Một đường 
thẳng đi qua cắt các cạnh , ở và . Chứng minh:
a) ;	b) là hình bình hành.
Lời giải
a) Ta có
 (ABCD là hình bình hành);
 (đối đỉnh);
.
 (g-c-g).
 .
b) Tứ giác có 2 đường chéo và cắt nhau tại trung điểm ( và ).
 là hình bình hành.
Bài 5. Cho hình bình hành , là giao điểm hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua cắt các cạnh và theo thứ tự ở và . Chứng minh điểm đối xứng với điểm qua .
Lời giải
Xét và có:
 (đối đỉnh);
 (hai góc so le trong);
.
 .
Vậy , đối xứng qua .
--- HẾT ---