Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Huyện Anh Sơn

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN ANH SƠN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8.
CẤP THCS - HUYỆN ANH SƠN 
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN – LỚP 8 
Thời gian làm bài: 120 phút 
(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2.5 điểm) 
Cho biểu thức 
a/ Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A.
b/ Tính giá trị của biểu thức A tại x = 
c/ Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.	 
Câu 2 (2.5 điểm)
a/ Giải phương trình: 
b/ Chứng minh rằng biểu thức S = chia hết cho 24 với mọi số nguyên n. 
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 3 (2.0 điểm)
	Cho hình vuông ABCD có M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD, DA. Gọi H là giao điểm của AN và DM. Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác BMDP là hình bình hành.
b/ BA = BH
Câu 4 (2 điểm)
Cho có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng:
a/ 
b/ 
c/ 
Câu 5 (1 điểm)
Cho 3 số a, b, c thỏa mãn điều kiện: và . 
Chứng minh rằng có ít nhất một số bằng 1.
- HẾT -
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm!
Đáp án và biểu điểm chấm thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 8
Năm học 2013 – 2014
Bài 
Câu
Nội dung cần đạt
Điểm
1
a
ĐKXĐ: 
 = 
= 
= 
= 
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b
Với x ( ĐKXĐ)
Thay vào A ta có A = 
0,25đ
0,5đ
c
Với x ĐKXĐ.
A có giá trị nguyên có giá trị nguyên
khi đó x + 2 x – 3
nên ( x + 2) – ( x – 3) x – 3
 x – 3
 x – 3 
Do đó x 
Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy có 3 giá trị thỏa mãn đề bài là
x = 2; x = 4; x = 8
0,25đ
0,25đ
2
a
Giải phương trình 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b
S là tích của bốn số nguyên liên tiếp nên S chia hết cho 3 vá S chi hết cho 8, mà 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên S chia hết cho 24
0,25đ
0,25đ
0,25đ
c
P = 2014 x = 2; y = 1.
Vậy Pmin = 2014 khi x = 2; y = 1.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
a
Xét tứ giác BMDP ta có:
BM//=DP( Vì BM=DP =	BC=AD)
Nên tứ giác BMDP là hình bình hành 
1,0đ
b
Xét tam giác ADH Ta có P là trung điểm của AD mà PQ //DH
Nên theo tính chất của đường trung bình ta có Q là trung điểm của AH(1)
Mặt khác: (c – g – c)
Nên mà ( Do )
Vì vậy 
Do đó vuông tại Q nên BQ AH (2)
Từ (1) và (2) Tam giác ABH cân tại B ( Vì BQ vừa là đường cao vừa là trung tuyến). Nên AB = BH
0,25đ
0,5đ
0,25đ
4
a
Xét và ta có
 chung
 ( )
Do đó (g –g)
0,5đ
b
Vì (g –g)
Nên kết hợp với 
Do vậy (c- g- c)
Vì vậy 
0,75đ
c
Vì (g –g) nên 
Vì(g –g) nên 
Do đó BH.BE + CH.CF = BC (CD +BD) =BC.BC =BC2
0,75đ
5
Vì và 
Nên 
Biến đổi hệ thức trên ta có
(a + b)( b +c)(c +a) = 0
Nên a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0
Nếu a + b = 0 thì c = 1
Nếu b + c = 0 thì a = 1
Nếu c + a = 0 thì b = 1
Vậy trong 3 số a, b, c có ít nhất một số bằng 1
0,5đ
0,5đ