Đề thi olympic cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Hoàng Hóa (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT HUYỆN HOÀNG HÓA ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 NĂM HỌC 2018 – 2019
 Môn: Toán
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đề)
 Đề thi gồm có: 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
 2 1 1 2
 1. Cho biểu thức 2
 푃 = 2 2 1:( + 1 + 2 )
 a. Rút gọn biểu thức P.
 1
 b. Tìm các giá trị của x để 푃 = 2.
 c. Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
 1 1 1 2 1
 2. Cho các số x,y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời + + = 2 và ― 2 = 4
 Tính giá trị của biểu thức 푃 = ( + 2 + )2019
Bài 2: (4,0 điểm)
 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 푄 = 3 3 ―7 2 +17 ― 5
 2. Giải phương trình ( + 1)( + 2)( 2 + 7 + 12) = 24.
 3. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn + + = 1.
 Chứng minh rằng 1 2 + 1 2 + 1 2 = 0
Bài 3: (4,0 điểm) 
 1. Cho m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 4 2 + = 5푛2 +푛. Chứng minh rằng: ( ― 푛) ; 
 (5 + 5푛 + 1) đều là các số chính phương.
 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 + ( + 1)2 = 4 + ( + 1)4. 
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( < ). Kẻ đường phân giác AD (D thuộc BC). Kẻ 
AJ vuông góc với BC (J thuộc BC). Từ D kẻ DH, DK lần lượt vuông góc vói AB, AC (H thuộc AB, K 
thuộc AC), BK cắt DH tại M, CH cắt DK tại N.
 2 
 1. Chứng minh rằng 퐽 = 퐽 .퐽 ; = .
 2. Chứng minh rằng MN song song BC.
 3. Gọi I là giao điểm của BK và CH. Chứng minh rằng tam giác ABK đồng dạng tam giác KAN và 
 chứng minh 3 điểm A, I, J thẳng hàng.
 4. Gọi E là giao điểm của AM và BD, F là giao điểm của BM và AD. Chứng minh rằng:
 퐹 
 + 퐹 + ≥ 9.
Bài 5: (2,0 điểm) 
 1 1 1
 1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn + + = 2019. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 푃 =
 1 1 1
 2 + 2 + 2 .
 2. Cho a,b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
 ( + )2 ( + )2 ( + )2 
 + + ≥ 9 + 2 + + .
 + + + 
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 8
 Năm học: 2018-2019
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Bài 1: (4,0 điểm)
 2 1 1 2
 1. Cho biểu thức 2
 푃 = 2 2 1:( + 1 + 2 )
 a. Rút gọn biểu thức P.
 1
 b. Tìm các giá trị của x để 푃 = 2.
 c. Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
 1 1 1 2 1
 2. Cho các số x,y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời + + = 2 và ― 2 = 4
 3. Tính giá trị của biểu thức 푃 = ( + 2 + )2019
 Lời giải
1. ) 
 2 1 1 2
 2 )
푃 = 2 2 1:( + 1 + 2 
ĐKXĐ: ≠ 1; ≠ 0.
 ( + 1) ( + 1)( ― 1) 2 ― 2
푃 = :[ + + ]
 ( ― 1)2 ( ― 1) ( ― 1) ( ― 1)
 ( + 1) + 1 ( + 1) ( ― 1) 2
 = : = . =
 ( ― 1)2 ( ― 1) ( ― 1)2 + 1 ― 1
1b)
 1 2 1
푃 = ― = ―
 2 ― 1 2
 2 2 = ― ( ― 1)
 2 2 + ― 1 = 0
 ( + 1)(2 ― 1) = 0
 = ―1 (푛ℎậ푛)
 = 1 (푛ℎậ푛)
 2
1c)
 2 2 ― 1 + 1 1
푃 = = = + 1 +
 ― 1 ― 1 ― 1
Để 푃 ∈ 푍 푡ℎì 1⋮ ― 1 ― 1 ∈ Ư(1) = { ± 1}
 ∈ {2;0}
2)
 1 1 1
 + + = 2 
 1 1 1 2 2 1
 + + = 4 = ―
 2
 1 1 1 2 2 2 2 1
 2 + 2 + 2 + + + ― + 2 = 0
 Trang 2 1 2 1 2 1 1
 ( 2 + + 2) + ( + 2 + 2) = 0
 1 1 2 1 1 2
 + = 0
 + + 
 1 + 1 = 0
 1 1 = = ― 
 + = 0 
 1 1 1 1 1 2019
Thay = = ― vào + + = 2 ta được = = 푣à = ― 푃 = 1 + 2. 1 ― 1 = 1
 2 2 2 2 2
Bài 2: (4,0 điểm)
 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 푄 = 3 3 ―7 2 +17 ― 5
 2. Giải phương trình ( + 1)( + 2)( 2 + 7 + 12) = 24.
 3. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn + + = 1.
 Chứng minh rằng 
 1 2 + 1 2 + 1 2 = 0
 Lời giải
 1)
 푄 = 3 3 ― 7 2 + 17 ― 5
= 3 3 ― 2 ― 9 2 + 1 + 3 2 ― + 18 ― 6
= 2(3 ― 1) ― (9 2 ― 1) + (3 ― 1) +6(3 ― 1)
=(3 ― 1)( 2 ― 3 ― 1 + + 6) = (3 ― 1)( 2 ―2 + 5)
 2)
( + 1)( + 2)( 2 + 7 + 12) = 24
 ( + 1)( + 2)( + 3)( + 4) = 24
Đặt ( + 1)( + 4) = 푡 2 +5 + 4 = 푡
 푡(푡 + 2) = 24 푡2 +2푡 + 1 = 25
 2 푡 = 4
 (푡 + 1) = 25 푡 = ―6
 2 = 0
Với 푡 = 4 +5 = 0 = ―5
 = ― 5 + 5
 2 5 2 2
Với 푡 = ―6 2 +5 + 10 = 0 + 5 = 
 2 2
 = ― 5 ― 5
 ⌈ 2 2
 3) 1 + 2 = + + + 2 = ( + )( + ). 
 Hoàn toàn tương tự ta có 1 + 2 = + + + 2 
 1 + 2 = + + + 2 = ( + )( + )
 ― ― + ― ― 1 1
 = = = ―
 1 + 2 ( + )( + ) ( + )( + ) + + 
 ― ― + ― ― 1 1
 = = = ―
 1 + 2 ( + )( + ) ( + )( + ) + + 
 ― ― + ― ― 1 1
 = = = ―
 1 + 2 ( + )( + ) ( + )( + ) + + 
 Vậy 
 1 2 + 1 2 + 1 2 = 0
Bài 3: (4,0 điểm) 
 Trang 3 1. Cho m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 4 2 + = 5푛2 +푛. Chứng minh rằng: ( ― 푛); 
 (5 + 5푛 + 1) đều là các số chính phương.
 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 + ( + 1)2 = 4 + ( + 1)4. 
 3. Lời giải
 1)
 Ta có 4 2 + = 5푛2 +푛
 4 2 ― 4푛2 + ― 푛 = 푛2
 ( ― 푛)(4 + 4푛 + 1) = 푛2(1)
 ọ푖 = Ư 퐿 ( ― 푛, 4 + 4푛 + 1)
 (4 + 4푛 + 1) ― 4( ― 푛)⋮ 
 8푛 + 1⋮ (2)
 ừ (1) 푛2⋮ 2 푛⋮ (3)
 ừ (2) 푣à (3)푠 1⋮ = 1
 Vậy ― 푛 푣à 4 + 4푛 + 1 là các số nguyên tố cùng nhau thỏa mãn (1)
 Nên chúng đều là các số chính phương.
 2)
 2 + ( + 1)2 = 4 + ( + 1)4
 2
 2 + 2 + 2 + 1 = 4 + ( + 1)2
 2 2 + 2 + 1 = 2 4 + 4 3 + 6 2 + 4 + 1
 2 + = 4 + 2 3 + 3 2 + 2 
 2 + = 2 2 + 2 + 1 + 2 2 + 2 
 2 2 2
 + + 1 = ( + 1) + 2 ( + 1) + 1
 2
 2 2 2
 + + 1 = [ ( + 1) + 1] = + + 1 (1) 
 2
Nếu = 0 푡ℎì 푡ừ (1) 1 = 2 + + 1
 2 + + 1 = 1 hoặc 2 + + 1 = ―1
 2 + = 0 hoặc 2 + + 2 = 0
 2 7
 ( + 1) = 0 hoặc + 1 + = 0
 2 4
 2 7
 = 0 hoặc = ―1 hoặc + 1 = ― (vô nghiệm).
 2 4
 = 0 hoặc = ―1
 Phương trình có các tập nghiệm nguyên là (0; 0); (0;-1).
 2
Nếu = ―1 2 + + 1 = 1
 = 0 hoặc = ―1 ( 푡)
 Trang 4 Phương trình có nghiệm là (-1;0); (-1; -1).
Nếu < ―1 ( + 1)2 < 2 + + 1 < 2
 (1) không có nghiệm nguyên < ―1.
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Kẻ đường phân giác AD (D thuộc BC). Kẻ 
AJ vuông góc với BC (J thuộc BC). Từ D kẻ DH, DK lần lượt vuông góc vói AB, AC (H thuộc AB, K 
thuộc AC), BK cắt DH tại M, CH cắt DK tại N.
 2 
 1. Chứng minh rằng 퐽 = 퐽 .퐽 và = .
 2. Chứng minh rằng MN song song BC.
 3. Gọi I là giao điểm của BK và CH. Chứng minh rằng tam giác ABK đồng dạng tam giác KAN và 
 chứng minh 3 điểm A, I, J thẳng hàng.
 4. Gọi E là giao điểm của AM và BD, F là giao điểm của BM và AD. Chứng minh rằng
 퐹 
 + 퐹 + ≥ 9.
 Lời giải
 1) Ta có + = 900 (푣ì ∆ 푣 ô푛 푡ạ푖 )
 퐽 + = 900 (푣ì 푡 푖á 퐽 푣 ô푛 )
 = 퐽
 é푡 ∆ 퐽 푣à ∆퐽 có 
 퐽 = 퐽 = 900
 퐽 = ( 푡)
 ∆ 퐽 ~∆퐽 
 퐽 퐽 
 = 퐽2 = 퐽 .퐽 
 퐽 퐽
 Xét tứ giác AKDH có
 = 퐾 = 퐾 = 900
 퐾 là hình chữ nhật.
 Trang 5 퐾P 푣à P 퐾 
 퐾P ∆ ~∆ 퐾
 = 퐾(1)
 P 퐾 = (2)
 퐾
 Từ (1) và (2) suy ra 
 = 
 2) 
 퐾 = = 퐾 P P 
 3) Xét tứ giác AKDH có A = H = K = 900
 퐾 là hình chữ nhật
 Mà AD là phân giác của 
 AKDH là hình vuông 퐾 = 퐾 = = 
 퐾 퐾 퐾 퐾 퐾
 퐾 = 퐾 = = 퐾 = ∆ 퐾 ~∆ 퐾
 AKB = ANK
 Mà ANK + NAK = 900
 Gọi P là giao điểm của PK và AN
 AKB + NAK = 900
 ∆ 푃퐾 푣 ô푛 푡ạ푖 푃 hay AN BK tại P.
 Chứng minh tương tự ta có AMCH
 I là trực tâm của tam giác AMN AIMN
 Mà MN P AC
 Nên AI  MN 
 Mà AJ  MN
 Do đó A, I, J thẳng hàng.
 4) Đặt 푆 = 푆; 푆 = 푆1; 푆 = 푆2; 푆 = 푆3
 푆 = 푆1 + 푆2 + 푆3
 퐹 푆 푆 푆 1 1 1
Ta có + + = 푆 + 푆 + 푆 = 푠 + +
 퐹 1 2 3 푆1 푆2 푆3
 1 1 1
 = (푆1 + 푆2 + 푆3) + + = 9
 푆1 푆2 푆3
Bài 5: (2,0 điểm) 
 1 1 1
 1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 + + = 2019. 
 1 1 1
 푃 = 2 + 2 + 2 .
 2. Cho a,b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
 ( + )2 ( + )2 ( + )2 
 + + ≥ 9 + 2 + + .
 + + + 
 Lời giải
 1 1 1 1 1 1 1 1
 = ≤ = 4 . . .
2 + + + + + 44 . . . 4 
 Trang 6 1 1 1 1 1
≤ + + + (1)
 16 
 1 1 1 1 1 1
Tương tự ≤ + + + (2)
 2 16 
 1 1 1 1 1 1
 ≤ + + + (3)
 + + 2 16 
Từ (1), (2),(3) ta có 
 1 1 1 1 4 4 4 2019
 + + ≤ + + =
2 + + + 2 + + + 2 16 4
 2019 2019 1 1 2019 3
 푃 ≤ 4 푛ê푛 푃 đạ푡 퐿 푙à 4 ℎ푖 = = 3 = = = 2019
 2019
Vậy GTLN của P là 4
2) Bất đẳng thức đã cho tương đương với
 2 2 2 2 2 2 
 + + + + + ≥ 3 + 2( + + )
 + + + 
 + + + + + ≥ 3 + 2 + +
 1 1 4 4 
 Ta có + = + ≥ =
 4 
Tương tự 
 + ≥ 
 4 
 + ≥
 + 
 + + + + + ≥ 4( + + )
 + + + 
 + + + + + ≥ 2 + + +2( + + ) 
Đặt + = ; + = ; + = 
 = 2 ; = 2 ; = 2
 + + = 2 + 2 + 2 
 1 
 + + = + ― 1 + + ― 1 + + ― 1
 2 
 1 3
= + + + + + ―
 2 2
Lại có + ≥ 2 . = 2
 Trang 7 
 + ≥ 2 . = 2
 + ≥ 2 . = 2
 1 3 3
 + + ≥ 2.6 ― 2 = 2
 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
 Trang 8