Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 - Trường THCS Đông Kinh

PHÒNG GD VÀ ĐT THÀNH PHỐ
TRƯỜNG THCS ĐÔNG KINH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8
NĂM HỌC 2020-2021
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút 
 (Đề thi gồm có 01 trang, 04 bài)
Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 5x2 - 26x + 24	c) x2 + 6x + 5	
b) 	d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015
Bài 2: (6 điểm)
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
(6 + 7)(2 – 3) – (4 + 1)
b) Tính giá trị biểu thức P = . Biết 2 – 22 = (x + y ≠ 0, ≠ 0).
c) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức .
d) Tính tổng các hệ số trong khai triển (1−2x)2021
 e) Chứng minh rằng: là số tự nhiên lẻ 
 f) Tìm hế số a để: 
Bài 3 : (7 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.
a) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân.
b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
c) Chứng minh P là trực tâm tam giác SQR.
d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC.
Bài 4 : (3 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015
b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = 1. Chứng minh a3 + b3+ ab 
--------------- Hết ------------------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG THCS ĐÔNG KINH
HDC CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8
NĂM HỌC 2020-2021
MÔN: TOÁN
(HDC gồm có 03 trang 04 bài)
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI
NỘI DUNG
THANG ĐIỂM
Bài 1
4 điểm
a) 5x2 - 26x + 24 = 5x2 - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x - 4) 
1 điểm
b) = = 
1 điểm
c) x2 + 6x + 5 = x2 + x + 5x + 5 = x(x + 1) + 5(x + 1) =
1 điểm
d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 – x3 – x2 – x + 2015x2 + 2015x +2015 = x2 (x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2015)
1 điểm
Bài 2
6 điểm
a) ( 6 + 7)(2 – 3) – (4 + 1) = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – 3x + = 
1 điểm
b) x2 – 2y2 = xy Û x2 – xy – 2y2 = 0 Û (x + y)(x – 2y) = 0
Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0 Û x = 2y .Khi đó A = 
1 điểm
c) 
Đặt , biểu thức P(x) được viết lại:
Do đó khi chia cho t ta có số dư là 2000
1 điểm
d) Gọi f(x)= (1−2x)2020 => f(1)= (1−2.1)2020= (-1)2020 = 1
Vậy tổng các hệ số trong khai triển là 1
1 điểm
e) , Vì n là số lẻ, Đặt 
1 điểm
f) Theo định lý Bơ- Zu ta có :
Dư của , khi chia cho x - 1 là 
Để có phép chia hết thì 
1 điểm
Bài 5
7điểm
Vẽ đúng hình 
a) ADQ = ABR vì chúng là hai tam giác vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và DA = BD (cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR, nên AQR là tam giác vuông cân. 
Chứng minh tương tự ta có: ABP = ADS
0, 5 điểm
2 điểm
b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên ANSP và AMRQ.
Mặt khác : = 450 nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật.
1,5 điểm
c) Theo giả thiết: QARS, RCSQ nên QA và RC là hai đờng cao của SQR. Vậy P là trực tâm của SQR.
1,5 điểm
d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung tuyến
 nên AM =QR.
MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C.
Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung trực của AC.
1,5 điểm
Bài 6
3 điểm
a) A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 
= y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015
= y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 
= (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010 
Chứng tỏ A 2010, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x = ; y = )
Vậy min A = 2010 khi (x = ; y = ) 
1,5 điểm
b) Ta có a3+ b3 + ab (1) a3+b3+ab -0
(a+b)(a2+ b2-ab) + ab-0a2+b2-0 (vì a + b =1)
2a2+2b2-12a2+2(1-a)2-1 (vì b = 1- a)
2a2+2 - 4a + 2a2 - 14(a2- a +)
0 (2)
... đpcm.
1,5 điểm